5 单选 (4分) 下列说法不正确的是A. 设eta_(1),eta_(2)都是Ax=b的解，则eta_(1)-eta_(2)是它的导出组Ax=0的解.B. 设a，β都是Ax=0的解，则C_(1)α+ C_(2)β也是Ax=0的解(C_(1),C_(2)为任意常数)C. 设eta_(1),eta_(2)都是Ax=b的解，则当k_(1)+k_(2)=1时，k_(1)eta_(1)+k_(2)eta_(2)也是Ax=b的解D. 设eta_(1),eta_(2)都是Ax=b的解，则当k_(1)-k_(2)=1时，k_(1)eta_(1)+k_(2)eta_(2)也是Ax=b的解
题目解答
答案
答案：D
解析：
A. 正确
由题意，$\eta_1$ 和 $\eta_2$ 均为 $Ax = b$ 的解，故 $A\eta_1 = b$，$A\eta_2 = b$。
则 $A(\eta_1 - \eta_2) = A\eta_1 - A\eta_2 = b - b = 0$，即 $\eta_1 - \eta_2$ 是 $Ax = 0$ 的解。
B. 正确
$\alpha$ 和 $\beta$ 均为 $Ax = 0$ 的解，故 $A\alpha = 0$，$A\beta = 0$。
对任意常数 $C_1$、$C_2$，有 $A(C_1\alpha + C_2\beta) = C_1A\alpha + C_2A\beta = 0$，即 $C_1\alpha + C_2\beta$ 是 $Ax = 0$ 的解。
C. 正确
$\eta_1$ 和 $\eta_2$ 均为 $Ax = b$ 的解，故 $A\eta_1 = b$，$A\eta_2 = b$。
当 $k_1 + k_2 = 1$ 时，$A(k_1\eta_1 + k_2\eta_2) = k_1b + k_2b = (k_1 + k_2)b = b$，即 $k_1\eta_1 + k_2\eta_2$ 是 $Ax = b$ 的解。
D. 错误
同C项，应满足 $k_1 + k_2 = 1$，但选项D条件为 $k_1 - k_2 = 1$，无法保证解的正确性。
结论： 不正确的说法是 $\boxed{D}$。
解析
本题主要考查线性方程组解的性质，包括非齐次线性方程组 $Ax = b$ 与其导出组 $Ax = 0$ 解之间的关系，以及解的线性组合性质。解题思路是根据已知条件，利用矩阵乘法的分配律对各选项中的线性组合进行运算，判断其是否满足相应方程组的形式。
选项A
已知$\eta_{1},\eta_{2}$都是$Ax = b$的解，根据解的定义，有$A\eta_{1}=b$，$A\eta_{2}=b$。
计算$A(\eta_{1}-\eta_{2})$，根据矩阵乘法的分配律$A(\alpha - \beta)=A\alpha - A\beta$，可得：
$A(\eta_{1}-\eta_{2})=A\eta_{1}-A\eta_{2}$
将$A\eta_{1}=b$，$A\eta_{2}=b$代入上式，得到：
$A\eta_{1}-A\eta_{2}=b - b = 0$
这表明$\eta_{1}-\eta_{2}$满足导出组$Ax = 0$的形式，所以$\eta_{1}-\eta_{2}$是$Ax = 0$的解，选项A正确。
选项B
已知$\alpha,\beta$都是$Ax = 0$的解，根据解的定义，有$A\alpha = 0$，$A\beta = 0$。
计算$A(C_{1}\alpha + C_{2}\beta)$，根据矩阵乘法的分配律$A(k\alpha + m\beta)=kA\alpha + mA\beta$（$k,m$为常数），可得：
$A(C_{1}\alpha + C_{2}\beta)=C_{1}A\alpha + C_{2}A\beta$
将$A\alpha = 0$，$A\beta = 0$代入上式，得到：
$C_{1}A\alpha + C_{2}A\beta=C_{1}\times0 + C_{2}\times0 = 0$
这表明$C_{1}\alpha + C_{2}\beta$满足$Ax = 0$的形式，所以$C_{1}\alpha + C_{2}\beta$是$Ax = 0$的解，选项B正确。
选项C
已知$\eta_{1},\eta_{2}$都是$Ax = b$的解，根据解的定义，有$A\eta_{1}=b$，$A\eta_{2}=b$。
当$k_{1}+k_{2}=1$时，计算$A(k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2})$，根据矩阵乘法的分配律可得：
$A(k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2})=k_{1}A\eta_{1}+k_{2}A\eta_{2}$
将$A\eta_{1}=b$，$A\eta_{2}=b$代入上式，得到：
$k_{1}A\eta_{1}+k_{2}A\eta_{2}=k_{1}b + k_{2}b=(k_{1}+k_{2})b$
因为$k_{1}+k_{2}=1$，所以$(k_{1}+k_{2})b = 1\times b = b$
这表明$k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2}$满足$Ax = b$的形式，所以$k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2}$是$Ax = b$的解，选项C正确。
选项D
已知$\eta_{1},\eta_{2}$都是$Ax = b$的解，根据解的定义，有$A\eta_{1}=b$，$A\eta_{2}=b$。
当$k_{1}-k_{2}=1$时，计算$A(k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2})$，根据矩阵乘法的分配律可得：
$A(k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2})=k_{1}A\eta_{1}+k_{2}A\eta_{2}$
将$A\eta_{1}=b$，$A\eta_{2}=b$代入上式，得到：
$k_{1}A\eta_{1}+k_{2}A\eta_{2}=k_{1}b + k_{2}b=(k_{1}+k_{2})b$
由于$k_{1}-k_{2}=1$，无法得出$k_{1}+k_{2}=1$，也就不能保证$(k_{1}+k_{2})b = b$，所以不能确定$k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2}$是$Ax = b$的解，选项D错误。