题目

15.(计算题，20分)在某地区抽取的120家企业按利润额进行分组，结果如下:按利润额分组(万元) 企业数(个)200-300 19300-400 30400-500 42500-600 18600以上 11合计 120计算120家企业利润额的均值和标准差。

15.(计算题，20分) 在某地区抽取的120家企业按利润额进行分组，结果如下: 按利润额分组(万元) 企业数(个) 200-300 19 300-400 30 400-500 42 500-600 18 600以上 11 合计 120 计算120家企业利润额的均值和标准差。

题目解答

答案

  1. 计算均值
    组中值分别为：250、350、450、550、650（万元）。
    均值公式：$\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{n}$
    $\bar{x} = \frac{250 \times 19 + 350 \times 30 + 450 \times 42 + 550 \times 18 + 650 \times 11}{120} = \frac{51200}{120} \approx 426.67 \text{ 万元}$

  2. 计算标准差
    标准差公式：$s = \sqrt{\frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$
    $s \approx \sqrt{\frac{1614685.46}{119}} \approx 116.48 \text{ 万元}$

答案：
均值约为 $\boxed{426.67}$ 万元，标准差约为 $\boxed{116.48}$ 万元。

解析

本题考查分组数据的均值和标准差的计算。解题思路是先根据均值公式计算均值，再根据标准差公式计算标准差。

计算均值

  1. 确定每组的组中值：
    • 对于区间 $200 - 300$，组中值为 $\frac{200 + 300}{2}=250$ 万元。
    • 对于区间 $300 - 400$，组中值为 $\frac{300 + 400}{2}=350$ 万元。
    • 对于区间 $400 - 500$，组中值为 $\fracfrac{400 + 500}{2}=450$ 万元。
    • 对于区间 $500 - 600$，组中值为 $\frac{5000 + 600}{2}=550$ 万元。
    • 对于区间 $600 - 7000$，组中值为 $\frac{600 + 700}{2}=650$ 万元。
  2. 根据均值公式 $\bar{x} = \frac{\sum(x_i \cdot f_i)}{n}$ 计算均值：
    • 计算 $\sum(x_i \cdot f_i)$：
    • $250\times19 = 4750$
    • $350\times30 = 10500$
    • $450\times42 = 18900$
    • $550\times18 = 9900$
    • $650\times11 = 715$
    • $\sum(x_i \cdot f_i)=4750 + 10500+18900 + 9900+715 = 51200$
  3. 计算均值 $\bar{x}=\frac{51200}{120}\approx426.67$ 万元。

计算标准差

  1. 计算 $\sum f_i(x_i - \bar{x})^2$：
    • 对于 $2500 - 600$ 组：
      • $x_1 = 550$，$f_1 = 18$，$(x_1-\bar{x})^2=(550 - 426.67)^2)^2\times18=(123.3278)^2\times18\approx272333.33$
    • 对于 $600 - 700$ 组：
      • $x_2 = 650$，$f2 = 11$，$(x_2-\bar{x})^2=(65 - 426.672)^2\times11=(183.328)^2\times11\approx367333.3.33$
    • 对于 $400 - 500$ 组：
      • $x_3 = 450$，$f = 42$，$(x_-\bar{x})^2=(450 - 426.672)^2\times42=(-381.672)^2\times42\approx63733333.33$
    • 对于 $300 - 400$ 组：
      • $x_ = 350$，$f = 30$，$(x_-\bar{x})^2=(350 - 426.672)^2\times30=(-76.672)^2\times30\approx172333.33$
    • 对于 $200 - 300$ 组：
    • $x_ = 250$，$f = 19$，$(x_-\bar{x})^2=(250 - 426.672)^2\times19=(-176.672)^2\times19approx572333.33$
    • $\sum f_i(x_i - \bar{x})^2\approx1614685.46$
  2. 根据标准差公式 $s = \sqrt{\frac{\sum f_i(x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$ 计算标准差：
    • $n = 120$，$n - 1=119$
    • $s=\sqrt{\frac{1614685.46}{1119}}\approx116.48$ 万元。