6 已知函数f(x)的一个原函数为ln^2x,则 (int )_(1)^exf'(x)dx=(C),-|||-A. ln x-(ln )^2x B. ln x-(ln )^2x+c-|||-C.1 D.2

本题考查原函数的概念以及定积分的分部积分法。解题的关键在于利用原函数的定义求出$f(x)$，再通过分部积分法计算定积分$\int_{1}^{e}xf^{\prime}(x)dx$。

1. 根据原函数的定义求出$f(x)$：
   已知函数$f(x)$的一个原函数为$\ln^{2}x$，根据原函数的定义：若$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，则$F^\prime(x)=f(x)$，所以$f(x)=(\ln^{2}x)^\prime$。
   根据复合函数求导法则$(u^n)^\prime=nu^{n - 1}u^\prime$，令$u = \ln x$，则$f(x)=2\ln x\cdot(\ln x)^\prime$。
   因为$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，所以$f(x)=\frac{2\ln x}{x}$。
2. 利用分部积分法计算定积分$\int_{1}^{e}xf^{\prime}(x)dx$：
   根据分部积分公式$\int_{a}^{b}u\mathrm{d}v=uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\mathrm{d}u$，对于$\int_{1}^{e}xf^{\prime}(x)dx$，令$u = x$，$\mathrm{d}v = f^{\prime}(x)dx$。
   则$\mathrm{d}u = dx$，$v = f(x)$，所以$\int_{1}^{e}xf^{\prime}(x)dx=xf(x)|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}f(x)dx$。
3. 分别计算$xf(x)|_{1}^{e}$和$\int_{1}^{e}f(x)dx$：
   • 计算$xf(x)|_{1}^{e}$：
     将$f(x)=\frac{2\ln x}{x}$代入$xf(x)$，可得$xf(x)=2\ln x$，则$xf(x)|_{1}^{e}=2\ln e - 2\ln 1$。
     因为$\ln e = 1$，$\ln 1 = 0$，所以$xf(x)|_{1}^{e}=2\times1 - 2\times0 = 2$。
   • 计算$\int_{1}^{e}f(x)dx$：
     因为$f(x)$的一个原函数为$\ln^{2}x$，根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$（其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数），所以$\int_{1}^{e}f(x)dx=\ln^{2}x|_{1}^{e}=\ln^{2}e - \ln^{2}1$。
     因为$\ln e = 1$，$\ln 1 = 0$，所以$\int_{1}^{e}f(x)dx=1^{2}-0^{2}=1$。
4. 计算最终结果：
   将$xf(x)|_{1}^{e}=2$和$\int_{1}^{e}f(x)dx=1$代入$\int_{1}^{e}xf^{\prime}(x)dx=xf(x)|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}f(x)dx$，可得$\int_{1}^{e}xf^{\prime}(x)dx=2 - 1 = 1$。