题目
设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0设干燥时间总体服从N( , 2);在下面两种情况下,求 的置信水平为0.95的置信区间.(1) 由以往的经验知 = 0.6 (小时);(2) 未知.
设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为
6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0
设干燥时间总体服从N( , 2);在下面两种情况下,求 的置信水平为0.95的置信区间.
(1) 由以往的经验知 = 0.6 (小时);
(2) 未知.
题目解答
答案
解:(1)由于 = 0.6,求 的置信区间由公式
计算,
其中n=9,=0.05,
1.96,
,代入计算得 的置信水平为0.95的置信区间为(5.608,6.392).
(2)由于 未知,求 的置信区间由公式
计算,
其中n=9,=0.05,
=2.306,
,
,
代入计算得 的置信水平为0.95的置信区间为(5.558,6.442)
解析
步骤 1：计算样本均值
首先，我们需要计算样本均值 $\overline{X}$。样本均值是所有样本值的平均值，计算公式为：
$$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$
其中，$n$ 是样本数量，$X_i$ 是第 $i$ 个样本值。将给定的样本值代入公式计算。
步骤 2：计算置信区间（已知标准差）
当总体标准差 $\sigma$ 已知时，置信区间的计算公式为：
$$\left(\overline{X} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha/2}, \overline{X} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha/2}\right)$$
其中，$Z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的分位数，$\alpha$ 是显著性水平，$n$ 是样本数量。将已知的 $\sigma$、$n$ 和 $\alpha$ 代入公式计算。
步骤 3：计算置信区间（未知标准差）
当总体标准差 $\sigma$ 未知时，置信区间的计算公式为：
$$\left(\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1)\right)$$
其中，$S$ 是样本标准差，$t_{\alpha/2}(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的分位数。将已知的 $n$ 和 $\alpha$ 代入公式计算。
首先，我们需要计算样本均值 $\overline{X}$。样本均值是所有样本值的平均值，计算公式为：
$$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$
其中，$n$ 是样本数量，$X_i$ 是第 $i$ 个样本值。将给定的样本值代入公式计算。
步骤 2：计算置信区间（已知标准差）
当总体标准差 $\sigma$ 已知时，置信区间的计算公式为：
$$\left(\overline{X} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha/2}, \overline{X} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha/2}\right)$$
其中，$Z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的分位数，$\alpha$ 是显著性水平，$n$ 是样本数量。将已知的 $\sigma$、$n$ 和 $\alpha$ 代入公式计算。
步骤 3：计算置信区间（未知标准差）
当总体标准差 $\sigma$ 未知时，置信区间的计算公式为：
$$\left(\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1)\right)$$
其中，$S$ 是样本标准差，$t_{\alpha/2}(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的分位数。将已知的 $n$ 和 $\alpha$ 代入公式计算。