设函数 f(x)= ,x=1-|||-x=1,求limf(x),limf(x),limf(x )-|||-x→1

本题考查分段函数在某点处的极限，解题思路是分别计算函数在该点处的左极限、右极限，若左极限和右极限都存在且相等，则函数在该点处的极限存在，否则不存在。

1. 明确函数表达式

已知函数$f(x)=\begin{cases}x - 2, & x\gt 1 \\ 0, & x = 1 \\ x + 1, & x\lt 1\end{cases}$

2. 计算左极限$\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)$

左极限是指$x$从左侧趋近于$1$，即$x\lt 1$，此时$f(x)=x + 1$。
根据极限的运算法则$\lim\limits_{x\to a}(g(x)+h(x))=\lim\limits_{x\to a}g(x)+\lim\limits_{x\to a}h(x)$，可得：
$\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}(x + 1)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}x+\lim\limits_{x\to 1^{-}}1$
因为$\lim\limits_{x\to 1^{-}}x = 1$，$\lim\limits_{x\to 1^{-}}1 = 1$，所以$\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=1 + 1 = 2$

3. 计算右极限$\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)$

右极限是指$x$从右侧趋近于$1$，即$x\gt 1$，此时$f(x)=x - 2$。
同样根据极限的运算法则$\lim\limits_{x\to a}(g(x)-h(x))=\lim\limits_{x\to a}g(x)-\lim\limits_{x\to a}h(x)$，可得：
$\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}(x - 2)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}x-\lim\limits_{x\to 1^{+}}2$
因为$\lim\limits_{x\to 1^{+}}x = 1$，$\lim\limits_{x\to 1^{+}}2 = 2$，所以$\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=1 - 2 = -1$

4. 计算极限$\lim\limits_{x\to 1}f(x)$

由于$\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=2$，$\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)= -1$，即$\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)\neq\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)$，根据函数极限存在的充要条件：函数在某点处的极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等，可知$\lim\limits_{x\to 1}f(x)$不存在。