3.单选题【单选题】设总体Xsim N(mu,sigma^2)，sigma^2未知，设总体均值μ的置信度1-α的置信区间长度l，那么l与a的关系为（）A. a增大，l减小B. a增大，l增大C. a增大，l不变D. a与l关系不确定

本题考查正态总体均值在方差未知时的置信区间以及置信区间长度与置信度的关系。解题的关键在于先求出总体均值$\mu$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间，进而得到置信区间长度的表达式，再分析其与$\alpha$的关系。

步骤一：求总体均值$\mu$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间

当总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$未知时，使用$t$分布来构造总体均值$\mu$的置信区间。
设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，样本均值为$\overline{X}$，样本标准差为$S$，则统计量$T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}\sim t(n - 1)$。
对于给定的置信度$1 - \alpha$，存在$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$使得$P\{ - t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1) \lt \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \lt t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\} = 1 - \alpha$。
对不等式进行变形可得：
$P\{ \overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}} \lt \mu \lt \overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}\} = 1 - \alpha$
所以总体均值$\mu$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间为$(\overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}})$。

步骤二：计算置信区间长度$l$

置信区间长度$l$等于置信区间上限减去下限，即：
$l = (\overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}) - (\overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}})$
$l = 2t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}$

步骤三：分析$l$与$\alpha$的关系

在$t$分布中，$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$是$t$分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点。当$\alpha$增大时，$\frac{\alpha}{2}$也增大，$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$的值会减小。
因为$l = 2t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}$，其中$2$、$S$、$n$均为常数，所以当$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$减小时，$l$也会减小。