4.求解非齐次线性方程组 ) 2x+3y+z=4 x-2y+4z=-5 3x+8y-2z=13 4x-y+9z=-6 .

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组的解法，包括增广矩阵的秩判断、特解的求解以及基础解系的确定。

解题核心思路：

1. 判断方程组是否有解：通过比较系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等。
2. 确定解的结构：若方程组有解，则通解为特解加上对应齐次方程组的通解。
3. 基础解系的求解：通过行变换化简系数矩阵，确定解空间的维数，并找到基础解系。

破题关键点：

• 行变换化简：将增广矩阵化为阶梯形，判断解的存在性。
• 自由变量的选取：确定解空间的维数，构造基础解系。
• 特解的构造：通过设定自由变量的值，求出特解。

步骤1：构造增广矩阵并进行行变换

增广矩阵为：
$\left[\begin{array}{ccc|c}2 & 3 & 1 & 4 \\1 & -2 & 4 & -5 \\3 & 8 & -2 & 13 \\4 & -1 & 9 & -6\end{array}\right]$

通过行变换化简为阶梯形：
$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 4 & -5 \\0 & 1 & -1 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

步骤2：判断解的情况

• 系数矩阵秩：2（非零行数）
• 增广矩阵秩：2（与系数矩阵相同）
• 结论：方程组有无穷多解，解空间维数为 $3 - 2 = 1$。

步骤3：求特解

设自由变量 $z = 0$，解方程组：
$\begin{cases}x - 2y = -5 \\y = 2\end{cases}$
得特解 $\mathbf{n}_0 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$。

步骤4：求基础解系

对应齐次方程组化简为：
$\begin{cases}x - 2y + 4z = 0 \\y - z = 0\end{cases}$
设 $z = k$，得基础解系 $\alpha = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

步骤5：写出通解

通解形式为：
$X = \mathbf{n}_0 + k\alpha \quad (k \text{ 为任意常数})$