设随机变量 X 与 Y 相互独立,X N ( 0 ,1 ) ,Y N ( 1 ,1 )(A) P ( X + Y ≤ 0 ) = dfrac (1)(2) (B) P ( X + Y ≤ 1 ) =dfrac (1)(2) (C) P ( X − Y ≤ 0 ) = dfrac (1)(2) (D) P ( X − Y ≤ 1 ) = dfrac (1)(2)

考查要点：本题主要考查独立正态随机变量的线性组合的分布性质，以及利用正态分布的对称性计算概率。

解题核心思路：

1. 确定线性组合的分布：根据独立正态变量的性质，若$X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$，$Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$，则$X+Y \sim N(\mu_X+\mu_Y, \sigma_X^2+\sigma_Y^2)$，$X-Y \sim N(\mu_X-\mu_Y, \sigma_X^2+\sigma_Y^2)$。
2. 标准化求概率：将线性组合的表达式标准化为标准正态分布，利用$\Phi(0)=\dfrac{1}{2}$的性质判断选项。

破题关键点：

• 选项B的关键：$X+Y \sim N(1, 2)$，当求$P(X+Y \leq 1)$时，恰好等于均值，概率为$\dfrac{1}{2}$。
• 其他选项错误原因：均值与所求点的位置关系导致概率不等于$\dfrac{1}{2}$。

选项分析

选项B

1. 确定分布：
   $X \sim N(0,1)$，$Y \sim N(1,1)$，且独立，故$X+Y \sim N(0+1, 1+1) = N(1, 2)$。
2. 标准化：
   $P(X+Y \leq 1) = P\left(\frac{X+Y - 1}{\sqrt{2}} \leq \frac{1 - 1}{\sqrt{2}}\right) = P(Z \leq 0) = \Phi(0) = \dfrac{1}{2}.$
   因此选项B正确。

其他选项错误分析

• 选项A：
  $X+Y \sim N(1, 2)$，求$P(X+Y \leq 0)$对应均值左侧1个单位，概率小于$\dfrac{1}{2}$。
• 选项C：
  $X-Y \sim N(-1, 2)$，求$P(X-Y \leq 0)$对应均值右侧1个单位，概率大于$\dfrac{1}{2}$。
• 选项D：
  $X-Y \sim N(-1, 2)$，求$P(X-Y \leq 1)$对应均值右侧$\sqrt{2}$个单位，概率约为$\Phi(\sqrt{2}) \approx 0.928$，不等于$\dfrac{1}{2}$。