题目
设两个随机变量和满足， , ,则 ___________
设两个随机变量
和
满足
，
, 
,则 
___________
题目解答
答案
由题意知的方差，的方差，
由题目给出的相关系数
，
将
带入方差计算公式:
代入已知数值,得:
综上，
。
解析
步骤 1：理解方差和协方差的定义
方差D(X)表示随机变量X的离散程度，协方差${\rho }_{xy}$表示两个随机变量X和Y之间的线性相关程度。题目中给出D(X)=1，D(Y)=4，${\rho }_{xy}=0$，表示X和Y的方差分别为1和4，且X和Y不相关。
步骤 2：应用方差的性质
根据方差的性质，对于随机变量X和Y，以及常数a和b，有$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abCov(X,Y)$。其中，$Cov(X,Y)$是X和Y的协方差，当${\rho }_{xy}=0$时，$Cov(X,Y)=0$。
步骤 3：计算D(2X-Y)
将a=2，b=-1代入方差的性质公式，得到$D(2X-Y)=2^2D(X)+(-1)^2D(Y)+2\times2\times(-1)\times Cov(X,Y)$。由于${\rho }_{xy}=0$，所以$Cov(X,Y)=0$，代入D(X)=1，D(Y)=4，得到$D(2X-Y)=4\times1+1\times4+0=8$。
方差D(X)表示随机变量X的离散程度，协方差${\rho }_{xy}$表示两个随机变量X和Y之间的线性相关程度。题目中给出D(X)=1，D(Y)=4，${\rho }_{xy}=0$，表示X和Y的方差分别为1和4，且X和Y不相关。
步骤 2：应用方差的性质
根据方差的性质，对于随机变量X和Y，以及常数a和b，有$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abCov(X,Y)$。其中，$Cov(X,Y)$是X和Y的协方差，当${\rho }_{xy}=0$时，$Cov(X,Y)=0$。
步骤 3：计算D(2X-Y)
将a=2，b=-1代入方差的性质公式，得到$D(2X-Y)=2^2D(X)+(-1)^2D(Y)+2\times2\times(-1)\times Cov(X,Y)$。由于${\rho }_{xy}=0$，所以$Cov(X,Y)=0$，代入D(X)=1，D(Y)=4，得到$D(2X-Y)=4\times1+1\times4+0=8$。