题目

9.（单选题，1.0分） 设X_(1),X_(2),...,X_(n)为正态分布N(mu,sigma^2)的样本，σ未知，overline(X)表示样本均值，则μ的置信度为1-2α的置信区间为 A (overline(X)-t_(alpha/2)(n-1)(S)/(sqrt(n)),overline(X)+t_(alpha/2)(n-1)(S)/(sqrt(n))); B (overline(X)-z_(alpha/2)(sigma)/(sqrt(n)),overline(X)+z_(alpha/2)(sigma)/(sqrt(n))); C (overline(X)-t_(alpha)(n-1)(S)/(sqrt(n)),overline(X)+t_(alpha)(n-1)(S)/(sqrt(n))); D (overline(X)-z_(alpha)(sigma)/(sqrt(n)),overline(X)+z_(alpha)(sigma)/(sqrt(n))).

9.（单选题，1.0分） 设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，σ未知，$\overline{X}$表示样本均值，则μ的置信度为1-2α的置信区间为 A $(\overline{X}-t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$; B $(\overline{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$; C $(\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$; D $(\overline{X}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$.

题目解答

答案

为了确定正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ 的总体均值 $\mu$ 的置信度为 $1-2\alpha$ 的置信区间，其中 $\sigma$ 未知，我们使用 t 分布。样本均值 $\overline{X}$ 与样本标准差 $S$ 的函数，当 $\sigma$ 未知时，遵循自由度为 $n-1$ 的 t 分布。 $\mu$ 的置信度为 $1-2\alpha$ 的置信区间由下式给出： \[ \left( \overline{X} - t_{\alpha}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t_{\alpha}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} \right) \] 其中 $t_{\alpha}(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的上 $\alpha$ 分位数。 让我们分析给出的选项： A. $\left( \overline{X} - t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} \right)$ 这个区间对应于置信度为 $1-\alpha$，而不是 $1-2\alpha$。 B. $\left( \overline{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$ 这个区间使用了标准正态分布（z 分布）和已知的 $\sigma$，这不适用于 $\sigma$ 未知的情况。 C. $\left( \overline{X} - t_{\alpha}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t_{\alpha}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} \right)$ 这个区间对应于置信度为 $1-2\alpha$，因为 $t_{\alpha}(n-1)$ 是上 $\alpha$ 分位数，区间在两边都有 $\alpha$ 的尾部，总和为 $2\alpha$。 D. $\left( \overline{X} - z_{\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$ 这个区间使用了标准正态分布（z 分布）和已知的 $\sigma$，这不适用于 $\sigma$ 未知的情况。 因此，正确答案是： \[ \boxed{C} \]

解析

本题考查正态分布总体均值$\mu$的置信区间构造，关键在于区分$\sigma$已知与否以及对应的分布（$z$分布或$t$分布）、置信度与分位数的关系。

核心知识点

  1. $\sigma$已知时：使用标准正态分布$Z\sim N(0,1)$，置信度为$1-2\alpha$的置信区间为：
    $\left(\overline{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$
    其中$z_{\alpha/2}$是标准正态分布的上$\alpha/2$分位数（双侧$\alpha$）。

  2. $\sigma$未知时：用样本标准差$S$替代$\sigma$，统计量$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$（$t$分布，自由度$n-1$），置信度为$1-2\alpha$的置信区间为：
    $\left(\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$
    其中$t_{\alpha}(n-1)$是$t$分布的上$\alpha$分位数（双侧$2\alpha$，因两侧各$\alpha$）。

选项分析

  • A：$t_{\alpha/2}(n-1)$对应置信度$1-\alpha$（单侧$\alpha/2$），非$1-2\alpha$，错误。
  • B：$z_{\alpha/2}$和$\sigma$仅适用于$\sigma$已知，本题$\sigma$未知，错误。
  • C：$t_{\alpha}(n-1)$、$S$均符合$\sigma$未知的条件，且双侧$2\alpha$对应置信度$1-2\alpha$，正确。
  • D：$z_{\alpha}$和$\sigma$不适用于$\sigma$未知，且置信度为$1-\alpha$，错误。