设随机变量 X 满足：E(X)=mu,D(X)=sigma^2，则由切比雪夫不等式，有 p|X-mu|( )A. (3)/(4)B. (15)/(16)C. (1)/(9)D. (1)/(16)

本题考查切比雪夫不等式的应用。解题思路是先明确切比雪夫不等式的公式，再将题目中的条件代入公式进行计算。

切比雪夫不等式为：设随机变量$X$的数学期望$E(X)=\mu$，方差$D(X)=\sigma^{2}$，则对于任意的正数$\varepsilon$，有$P\{|X - \mu| \geq \varepsilon\} \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^{2}}$，同时$P\{|X - \mu| < \varepsilon\} = 1 - P\{|X - \mu| \geq \varepsilon\}$。

已知$E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^{2}$，要求$P\{|X - \mu| < 4\sigma\}$，这里$\varepsilon = 4\sigma$。

• 首先，根据切比雪夫不等式$P\{|X - \mu| \geq \varepsilon\} \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^{2}}$，将$\varepsilon = 4\sigma$，$D(X)=\sigma^{2}$代入可得：
  $P\{|X - \mu| \geq 4\sigma\} \leq \frac{\sigma^{2}}{(4\sigma)^{2}}$
• 然后，计算$\frac{\sigma^{2}}{(4\sigma)^{2}}$的值：
  $\frac{\sigma^{2}}{(4\sigma)^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{16\sigma^{2}}=\frac{1}{16}$
  即$P\{|X - \mu| \geq 4\sigma\} \leq \frac{1}{16}$。
• 最后，根据$P\{|X - \mu| < \varepsilon\} = 1 - P\{|X - \mu| \geq \varepsilon\}$，可得：
  $P\{|X - \mu| < 4\sigma\} = 1 - P\{|X - \mu| \geq 4\sigma\}$
  因为$P\{|X - \mu| \geq 4\sigma\} \leq \frac{1}{16}$，所以$1 - P\{|X - \mu| \geq 4\sigma\} \geq 1 - \frac{1}{16}$。
  计算$1 - \frac{1}{16}$：
  $1 - \frac{1}{16}=\frac{16}{16}-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$
  即$P\{|X - \mu| < 4\sigma\} \geq \frac{15}{16}$，所以$P\{|X - \mu| < 4\sigma\} > \frac{15}{16}$不成立，应该是$P\{|X - \mu| < 4\sigma\} \geq \frac{15}{16}$，题目表述有误，但从计算结果来看最符合的是$\frac{15}{16}$。