1.（5.0分）若f(x)是[a,b]上的有界变差函数，g(x)是[a,b]上的有界变差函数，则f(x)±g(x)，f(x)g(x)都是[a,b]上的有界变差函数。（）A. 对B. 错

本题考查有界变差函数的性质。解题思路是分别分析$f(x) \pm g(x)$和$f(x)g(x)$是否为$[a,b]$上的有界变差函数。

1. 分析$f(x) \pm g(x)$是否为有界变差函数：
   • 设$f(x)$和$g(x)$是$[a,b]$上的有界变差函数，对于任意的分划$P: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，$f(x)$的变差$V_{a}^{b}(f)=\sup_{P}\sum_{i = 1}^{n}|f(x_i)-f(x_{i - 1})|$，$g(x)$的变差$V_{a}^{b}(g)=\sup_{P}\sum_{i = 1}^{n}|g(x_i)-g(x_{i - 1})|$。
   • 对于$f(x)+g(x)$，其在分划$P$下的变差为$\sum_{i = 1}^{n}|(f(x_i)+g(x_i))-(f(x_{i - 1})+g(x_{i - 1}))|$。
   • 根据绝对值不等式$\vert A + B\vert\leqslant\vert A\vert+\vert B\vert$，有$\sum_{i = 1}^{n}|(f(x_i)+g(x_i))-(f(x_{i - 1})+g(x_{i - 1}))|\leqslant\sum_{i = 1}^{n}|f(x_i)-f(x_{i - 1})|+\sum_{i = 1}^{n}|g(x_i)-g(x_{i - 1})|$。
   • 两边取上确界，可得$V_{a}^{b}(f + g)\leqslant V_{a}^{b}(f)+V_{a}^{b}(g)$，因为$V_{a}^{b}(f)$和$V_{a}^{b}(g)$都有限，所以$V_{a}^{b}(f + g)$有限，即$f(x)+g(x)$是有界变差函数。
   • 同理，对于$f(x)-g(x)$，$\sum_{i = 1}^{n}|(f(x_i)-g(x_i))-(f(x_{i - 1})-g(x_{i - 1}))|\leqslant\sum_{i = 1}^{n}|f(x_i)-f(x_{i - 1})|+\sum_{i = 1}^{n}|g(x_i)-g(x_{i - 1})|$，取上确界后$V_{a}^{b}(f - g)\leqslant V_{a}^{b}(f)+V_{a}^{b}(g)$，所以$f(x)-g(x)$也是有界变差函数。
2. 分析$f(x)g(x)$是否为有界变差函数：
   • 因为$f(x)$和$g(x)$是$[a,b]$上的有界变差函数，根据有界变差函数的性质，有界变差函数一定是有界函数，所以存在$M_1>0$和$M_2>0$，使得$\vert f(x)\vert\leqslant M_1$，$\vert g(x)\vert\leqslant M_2$，$x\in[a,b]$。
   • 对于任意分划$P: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，$f(x)g(x)$在分划$P$下的变差为$\sum_{i = 1}^{n}|f(x_i)g(x_i)-f(x_{i - 1})g(x_{i - 1})|$。
   • 对$\vert f(x_i)g(x_i)-f(x_{i - 1})g(x_{i - 1})\vert$进行变形：
     $\vert f(x_i)g(x_i)-f(x_{i - 1})g(x_{i - 1})\vert=\vert f(x_i)g(x_i)-f(x_i)g(x_{i - 1})+f(x_i)g(x_{i - 1})-f(x_{i - 1})g(x_{i - 1})\vert$
   • 再根据绝对值不等式$\vert A + B\vert\leqslant\vert A\vert+\vert B\vert$，可得$\vert f(x_i)g(x_i)-f(x_{i - 1})g(x_{i - 1})\vert\leqslant\vert f(x_i)\vert\vert g(x_i)-g(x_{i - 1})\vert+\vert g(x_{i - 1})\vert\vert f(x_i)-f(x_{i - 1})\vert$。
   • 则$\sum_{i = 1}^{n}|f(x_i)g(x_i)-f(x_{i - 1})g(x_{i - 1})|\leqslant M_1\sum_{i = 1}^{n}|g(x_i)-g(x_{i - 1})|+M_2\sum_{i = 1}^{n}|f(x_i)-f(x_{i - 1})|$。
   • 两边取上确界，$V_{a}^{b}(fg)\leqslant M_1V_{a}^{b}(g)+M_2V_{a}^{b}(f)$，由于$V_{a}^{b}(f)$和$V_{a}^{b}(g)$都有限，所以$V_{a}^{b}(fg)$有限，即$f(x)g(x)$是有界变差函数。