题目
设总体Xsim N(mu,0.9^2)X_(1),X_(2),...,X_(9)是容量为9的简单随机样本，均值overline(x)=5则未知参数mu的置信水平为0.95的置信区间是[4.412,5.588].A 正确B 错误
设总体
$X\sim N(\mu,0.9^{2})$
$X_{1},X_{2},\cdots,X_{9}$
是容量为9的简单随机样本，均值
$\overline{x}=5$
则未知参数
$\mu$
的置信水平为0.95的置信区间是
[4.412,5.588].
A 正确
B 错误
题目解答
答案
根据题目条件，总体 $X \sim N(\mu, 0.9^2)$，样本容量 $n = 9$，样本均值 $\bar{x} = 5$，置信水平为 0.95。
由于总体方差已知，使用 Z 分布构造置信区间。公式为：
\[
\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
其中，$\sigma = 0.9$，$n = 9$，$\alpha = 0.05$，$z_{0.025} = 1.96$。代入得：
\[
5 \pm 1.96 \times \frac{0.9}{3} = 5 \pm 0.588
\]
即置信区间为 $[4.412, 5.588]$。
因此，题目说法正确。
答案：A 正确
解析
本题考查正态总体均值的置信区间的计算。解题思路是根据已知条件，判断总体方差是否已知，从而确定使用的分布，再代入相应公式进行计算。
- 已知总体$X\sim N(\mu,0.9^{2})$，即总体方差$\sigma^{2}=0.9^{2}$已知，样本容量$n = 9$，样本均值$\overline{x}=5$，置信水平为$0.95$。
- 因为总体方差已知，所以使用$Z$分布构造置信区间，公式为$\overline{x}\pm z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
- 其中$\sigma = 0.9$，$n = 9$，$\alpha = 0.05$，$z_{0.025}=1.96$。
- 代入公式可得：
$\begin{align*}\overline{x}\pm z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}&=5\pm 1.96\times\frac{0.9}{\sqrt{9}}\\&=5\pm 1.96\times\frac{0.9}{3}\\&=5\pm 0.588\end{align*}$ - 即置信区间为$[4.412, 5.588]$。