题目

81.(填空题，0.7分)lim_(n to infty) (3n-2)/(3n+1)=

81.(填空题，0.7分) $\lim_{n \to \infty} \frac{3n-2}{3n+1}=$

题目解答

答案

将分子和分母同时除以 $n$，得 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n-2}{3n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{n}}{3 + \frac{1}{n}} = \frac{3 - 0}{3 + 0} = 1 \] 或者，将分子重写为 $3n + 1 - 3$，得 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n-2}{3n+1} = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3n+1}\right) = 1 - 0 = 1 \] 因此，极限为 $\boxed{1}$。

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是分式型数列的极限求解方法。

解题核心思路：当分子和分母均为关于$n$的一次多项式时，可通过分子分母同除以最高次项或拆分分子的方式，将分式转化为易于求极限的形式。

破题关键点：

  1. 忽略低次项和常数项：当$n$趋向于无穷大时，最高次项的系数主导分式的值。
  2. 极限运算规则：利用$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$简化表达式。

方法一：分子分母同除以$n$

  1. 变形分式：
    $\frac{3n-2}{3n+1} = \frac{3 - \frac{2}{n}}{3 + \frac{1}{n}}$
  2. 求极限：
    $\lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{n}}{3 + \frac{1}{n}} = \frac{3 - 0}{3 + 0} = 1$

方法二：拆分分子

  1. 改写分子：
    $3n - 2 = (3n + 1) - 3$
  2. 拆分分式：
    $\frac{3n - 2}{3n + 1} = 1 - \frac{3}{3n + 1}$
  3. 求极限：
    $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3n + 1}\right) = 1 - 0 = 1$