题目
3.设随机变量X~N(1,2²), Φ(0.5)=0.6915,则事件(0≤X<2)的概率为____.
3.设随机变量X~N(1,2²), Φ(0.5)=0.6915,则事件{0≤X<2}的概率为____.
题目解答
答案
将随机变量 $X$ 标准化为 $Z = \frac{X - 1}{2}$，则 $Z \sim N(0, 1)$。 求 $P(0 \le X < 2)$ 转换为求 $P(-0.5 \le Z < 0.5)$。 利用标准正态分布的对称性： $P(-0.5 \le Z < 0.5) = \Phi(0.5) - \Phi(-0.5) = 2\Phi(0.5) - 1$ 已知 $\Phi(0.5) = 0.6915$，代入得： $P(-0.5 \le Z < 0.5) = 2 \times 0.6915 - 1 = 0.383$ 答案： $\boxed{0.383}$
解析
本题考查正态分布的概率计算，解题思路是先将给定的正态分布随机变量进行标准化，转化为标准正态分布，再利用标准正态分布的性质和已知条件计算所求事件的概率。
- 标准化随机变量：
已知随机变量$X\sim N(1,2^{2})$，根据正态分布标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$（其中$\mu$为均值，$\sigma$为标准差），这里$\mu = 1$，$\sigma = 2$，将随机变量$X$标准化为$Z = \frac{X - 1}{2}$，此时$Z\sim N(0, 1)$。 - 转化概率区间：
要求$P(0\leq X\lt 2)$，对不等式进行标准化处理。
当$X = 0$时，$Z_1=\frac{0 - 1}{2}=-0.5$；当$X = 2$时，$Z_2=\frac{2 - 1}{2}=0.5$。
所以$P(0\leq X\lt 2)=P(\frac{0 - 1}{2}\leq\frac{X - 1}{2}\lt\frac{2 - 1}{2}) = P(-0.5\leq Z\lt 0.5)$。 - 利用标准正态分布性质计算概率：
根据标准正态分布的性质，$P(-0.5\leq Z\lt 0.5)=\varPhi(0.5)-\varPhi(-0.5)$。
又因为标准正态分布关于$y$轴对称，所以$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，则$\varPhi(-0.5)=1 - \varPhi(0.5)$。
那么$P(-0.5\leq Z\lt 0.5)=\varPhi(0.5)-(1 - \varPhi(0.5))=2\varPhi(0.5)-1$。 - 代入已知值计算结果：
已知$\varPhi(0.5)=0.6915$，将其代入上式可得：
$P(-0.5\leq Z\lt 0.5)=2\times0.6915 - 1$
$=1.383 - 1$
$=0.383$