题目
13. (5.0分) 设随机变量X~N(-2,4)，当C=____，使得P(X>c)=P(X≤c)。
13. (5.0分) 设随机变量X~N(-2,4)，当C=____，使得P{X>c}=P{X≤c}。
题目解答
答案
为了确定使得 $ P\{X > c\} = P\{X \leq c\} $ 的 $ c $ 的值，对于随机变量 $ X \sim N(-2, 4) $，我们需要理解正态分布的性质。正态分布关于其均值对称。这意味着在均值的两侧分布的面积相等。
给定 $ X \sim N(-2, 4) $，分布的均值 $ \mu $ 是 $-2$，方差 $ \sigma^2 $ 是 $4$，因此标准差 $ \sigma $ 是 $2$。
由于正态分布关于其均值对称，均值 $ \mu = -2 $ 是分布的中位数。这意味着 $ X $ 大于 $-2$ 的概率等于 $ X $ 小于或等于 $-2$ 的概率。数学上，这可以表示为：
\[ P\{X > -2\} = P\{X \leq -2\} = \frac{1}{2}. \]
因此，满足 $ P\{X > c\} = P\{X \leq c\} $ 的 $ c $ 的值是均值 $ \mu $，即 $-2$。
因此，$ c $ 的值是 $\boxed{-2}$。
解析
本题考查正态分布的性质。解题的关键在于理解正态分布的对称性，即正态分布关于其均值对称，在均值两侧的概率相等。
已知随机变量$X\sim N(-2,4)$，根据正态分布的表达式$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu$为均值，$\sigma^{2}$为方差。
- 对于本题，可得均值$\mu = - 2$，方差$\sigma^{2}=4$，标准差$\sigma=\sqrt{4} = 2$。
- 因为正态分布关于均值$\mu$对称，所以$P\{X>\mu\}=P\{X\leqslant\mu\}$。
- 已知$P\{X > c\} = P\{X \leq c\}$，结合正态分布的对称性可知$c$的值就等于均值$\mu$。
- 所以$c=-2$。