已知 F(x) = f[g(x)]，在 x = x_0 处可导，则( )A. f(x), g(x) 都必须可导B. f(x) 必须可导C. g(x) 必须可导D. f(x) 和 g(x) 都不一定可导

本题考查复合函数可导性与内层函数、外层函数可导性之间的关系。解题思路是通过构造反例来判断各个选项的正确性。

选项A分析

要判断“$f(x)$，$g(x)$都必须可导”是否正确，我们可以尝试找到一个复合函数$F(x)=f[g(x)]$在$x = x_0$处可导，但$f(x)$或$g(x)$不可导的例子。
设$g(x)=x^2$，$f(u)=\begin{cases}1, & u = 0 \\ 0, & u\neq 0\end{cases}$，则$F(x)=f[g(x)]=\begin{cases}1, & x = 0 \\ 0, & x\neq 0\end{cases}$。
根据导数的定义求$F(x)$在$x = 0$处的导数：
$F^\prime(0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{F(0 + \Delta x)-F(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{0 - 1}{\Delta x}$，当$\Delta x\to 0$时，此极限不存在，说明这个例子不合适。
我们换一个例子，设$g(x)=x$，$f(u)=\begin{cases}u^2\sin\frac{1}{u}, & u\neq 0 \\ 0, & u = 0\end{cases}$，则$F(x)=f[g(x)]=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}, & x\neq 0 \\ 0, & x = 0\end{cases}$。
求$F(x)$在$x = 0$处的导数：
$F^\prime(0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{F(0+\Delta x)-F(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{(\Delta x)^2\sin\frac{1}{\Delta x}-0}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta x\sin\frac{1}{\Delta x}$
因为$\vert\sin\frac{1}{\Delta x}\vert\leqslant 1$，$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta x = 0$，根据有界函数与无穷小的乘积为无穷小，可得$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta x\sin\frac{1}{\Delta x}=0$，即$F(x)$在$x = 0$处可导。
而$f(u)$在$u = 0$处的导数：
$f^\prime(0)=\lim\limits_{\Delta u\to 0}\frac{f(0+\Delta u)-f(0)}{\Delta u}=\lim\limits_{\Delta u\to 0}\frac{(\Delta u)^2\sin\frac{1}{\Delta u}-0}{\Delta u}=\lim\limits_{\Delta u\to 0}\Delta u\sin\frac{1}{\Delta u}=0$，$f(u)$可导，$g(x)=x$也可导，这个例子也不合适。
再设$g(x)=\begin{cases}x, & x\geqslant 0 \\ -x, & x\lt 0\end{cases}$，$f(u)=u^2$，则$F(x)=f[g(x)] = x^2$。
求$F(x)$在$x = 0$处的导数：
$F^\prime(0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{F(0+\Delta x)-F(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{(\Delta x)^2 - 0}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta x = 0$，$F(x)$在$x = 0$处可导。
$g(x)$在$x = 0$处的左导数$g^\prime_-(0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\frac{g(0+\Delta x)-g(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\frac{-\Delta x - 0}{\Delta x}=-1$，右导数$g^\prime_+(0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\frac{g(0+\Delta x)-g(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\frac{\Delta x - 0}{\Delta x}=1$，因为$g^\prime_-(0)\neq g^\prime_+(0)$，所以$g(x)$在$x = 0$处不可导，这说明存在复合函数$F(x)$可导，但$g(x)$不可导的情况，所以选项A错误。

选项B分析

由上述例子可知，存在复合函数$F(x)$可导，但$f(x)$不可导的情况，所以选项B错误。

选项C分析

同样由上述例子可知，存在复合函数$F(x)$可导，但$g(x)$不可导的情况，所以选项C错误。

选项D分析

因为我们已经找到了复合函数$F(x)$可导，但$f(x)$或$g(x)$不可导的例子，所以$f(x)$和$g(x)$都不一定可导，选项D正确。