设连续型随机变量 X 的概率密度函数 f(x)=} Ax & 0 A. 4B. 0.5C. 2D. 1

本题考查连续型随机变量概率密度函数的性质，解题思路是利用概率密度函数在整个定义域上的积分值为$1$这一性质来求解参数$A$。

对于连续型随机变量$X$，其概率密度函数$f(x)$满足$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$。
已知$f(x)=\begin{cases} Ax & 0 \lt x \lt 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$，则$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{0}^{1}Ax dx$。
根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}kx^n dx=\left[\frac{k}{n + 1}x^{n + 1}\right]_{a}^{b}$（$n\neq -1$），对$\int_{0}^{1}Ax dx$进行计算：

• 先确定$k = A$，$n = 1$，则$\int_{0}^{1}Ax dx=\left[\frac{A}{1 + 1}x^{1 + 1}\right]_{0}^{1}$。
• 进一步化简可得$\left[\frac{A}{2}x^{2}\right]_{0}^{1}$。
• 再根据牛顿-莱布尼茨公式$\left.F(x)\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$，可得$\left[\frac{A}{2}x^{2}\right]_{0}^{1}=\frac{A}{2}\times1^{2}-\frac{A}{2}\times0^{2}=\frac{A}{2}$。
  因为$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$，即$\frac{A}{2}=1$。
  两边同时乘以$2$，解得$A = 2$。