5、(9分)设二维随机变量(X,Y)的联合分布律如下,求: Y 1 2 3 X () 0.1 0.2 0.3 1 0.1 0.2 0.1 (1)Y的边缘分布律; (2)协方差Cov(X,Y); (3)判断X、Y是否线性相关,是否相互独立,请说明理由.

本题主要考查二维随机变量的边缘分布律、协方差的计算以及随机变量的线性相关性和独立性的判断。解题思路如下：

1. 求$Y$的边缘分布律：根据边缘分布律的定义，$Y$取某一值的概率等于联合分布律中该值所在列的概率之和。
2. 求协方差$Cov(X,Y)$：首先需要求出$X$和$Y$的边缘分布律，进而得到$E(X)$、$E(Y)$和$E(XY)$，最后根据协方差的计算公式$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$计算协方差。
3. 判断$X$、$Y$是否线性相关和相互独立：
   • 若$Cov(X,Y)\neq0$，则$X$和$Y$线性相关；若$Cov(X,Y)=0$，则$X$和$Y$不线性相关。
   • 若对于所有的$x$和$y$，都有$P(X = x, Y = y) = P(X = x) \cdot P(Y = y)$，则$X$和$Y$相互独立；否则，$X$和$Y$不相互独立。

（1）求$Y$的边缘分布律

根据边缘分布律的定义，$Y$取某一值的概率等于联合分布律中该值所在列的概率之和。

• $P(Y = 1)=0.1 + 0.1 = 0.2$
• $P(Y = 2)=0.2 + 0.2 = 0.4$
• $P(Y = 3)=0.3 + 0.1 = 0.4$

所以$Y$的边缘分布律为：
$\begin{array}{c|c|c|c}Y & 1 & 2 & 3 \\\hlineP & 0.2 & 0.4 & 0.4\end{array}$

（2）求协方差$Cov(X,Y)$

• 求$X$的边缘分布律：
  • $P(X = 0)=0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6$
  • $P(X = 1)=0.1 + 0.2 + 0.1 = 0.4$
• 计算$E(X)$、$E(Y)$和$E(XY)$：
  • $E(X)=0\times P(X = 0)+1\times P(X = 1)=0\times0.6 + 1\times0.4 = 0.4$
  • $E(Y)=1\times P(Y = 1)+2\times P(Y = 2)+3\times P(Y = 3)=1\times0.2 + 2\times0.4 + 3\times0.4 = 2.2$
  • $E(XY)=\sum_{i}\sum_{j}x_iy_jP(X = x_i, Y = y_j)$
    $=0\times1\times0.1 + 0\times2\times0.2 + 0\times3\times0.3 + 1\times1\times0.1 + 1\times2\times0.2 + 1\times3\times0.1$
    $=0 + 0 + 0 + 0.1 + 0.4 + 0.3 = 0.8$
• 计算协方差$Cov(X,Y)$：
  根据协方差的计算公式$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$，可得：
  $Cov(X,Y)=0.8 - 0.4\times2.2 = 0.8 - 0.88 = -0.08$

（3）判断$X$、$Y$是否线性相关和相互独立

• 判断线性相关性：
  因为$Cov(X,Y)= -0.08\neq0$，所以$X$和$Y$线性相关。
• 判断独立性：
  取$X = 0$，$Y = 1$，$P(X = 0, Y = 1)=0.1$，$P(X = 0)=0.6$，$P(Y = 1)=0.2$，则$P(X = 0) \cdot P(Y = 1)=0.6\times0.2 = 0.12\neq P(X = 0, Y = 1)$。
  所以$X$和$Y$不相互独立。