题目

设总体 X sim N(mu_1, sigma_1^2), Y sim N(mu_2, sigma_2^2), 检验假设 H_0: sigma_1^2 = sigma_2^2, H_1: sigma_1^2 neq sigma_2^2, alpha = 0.10, 从 X、Y 分别抽取容量为 n_1 = 12, n_2 = 10 的样本, 算得 S_1^2 = 118.4, S_2^2 = 31.93, 则正确的检验为 ( ).A. 用 T 检验法, 拒绝 H_0B. 用 T 检验法, 无法拒绝 H_0C. 用 F 检验法, 拒绝 H_0D. 用 F 检验法, 无法拒绝 H_0

设总体 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$, $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$, 检验假设 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$, $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$, $\alpha = 0.10$, 从 $X$、$Y$ 分别抽取容量为 $n_1 = 12$, $n_2 = 10$ 的样本, 算得 $S_1^2 = 118.4$, $S_2^2 = 31.93$, 则正确的检验为 ( ).

A. 用 $T$ 检验法, 拒绝 $H_0$

B. 用 $T$ 检验法, 无法拒绝 $H_0$

C. 用 $F$ 检验法, 拒绝 $H_0$

D. 用 $F$ 检验法, 无法拒绝 $H_0$

题目解答

答案

C. 用 $F$ 检验法, 拒绝 $H_0$

解析

本题考查两个正态总体方差齐性的检验，解题思路如下：

  1. 确定检验方法：当检验两个正态总体的方差是否相等时，应使用$F$检验法。因为$T$检验法主要用于检验正态总体的均值，所以可排除选项A和B。
  2. 计算检验统计量：对于两个正态总体$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$和$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，检验假设$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$，$H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$时，检验统计量为$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$，其中$S_1^2$和$S_2^2$分别是来自两个总体的样本方差，且$F$服从自由度为$(n_1 - 1, n_2 - 1)$的$F$分布，这里$n_1$和$n_2$分别是两个样本的容量。
    已知$S_1^2 = 118.4$，$S_2^2 = 31.93$，则$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}=\frac{118.4}{31.93}\approx3.71$。
  3. 确定自由度：由题可知$n_1 = 12$，$n_2 = 10$，所以自由度为$n_1 - 1 = 12 - 1 = 11$和$n_2 - 1 = 10 - 1 = 9$，即$F$服从$F(11, 9)$分布。
  4. 查找临界值：因为是双侧检验，显著性水平$\alpha = 0.10$，所以需要查找$F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1 - 1, n_2 - 1)=F_{0.05}(11, 9)$和$F_{1 - \frac{\alpha}{2}}(n_1 - 1, n_2 - 1)=F_{0.95}(11, 9)$的值。通过查$F$分布表可得$F_{0.05}(11, 9) \approx 3.10$，$F_{0.95}(11, 9) \approx 0.33$。
  5. 做出决策：若$F \lt F_{1 - \frac{\alpha}{2}}(n_1 - 1, n_2 - 1)$或$F \gt F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1 - 1, n_2 - 1)$，则拒绝原假设$H_0$；否则，无法拒绝原假设$H_0$。
    由于$F\approx3.71\gt{}3.10 = F_{0.05}(11, 9)$，落入拒绝域，所以拒绝$H_0$。