设随机变量 X sim N(0,4)，Y sim N(0,9)，且 X 和 Y 相互独立，则 P(3X + 2Y leq 0) = ______。
设随机变量 $X \sim N(0,4)$，$Y \sim N(0,9)$，且 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则 $P(3X + 2Y \leq 0) = \_\_\_\_\_\_$。
题目解答
答案
设 $Z = 3X + 2Y$，其中 $X \sim N(0, 4)$，$Y \sim N(0, 9)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立。
由正态分布的性质，$Z$ 服从正态分布，其均值和方差分别为：
$E(Z) = 3E(X) + 2E(Y) = 0, \quad \text{Var}(Z) = 9\text{Var}(X) + 4\text{Var}(Y) = 9 \times 4 + 4 \times 9 = 72$
因此，$Z \sim N(0, 72)$。
由于正态分布关于均值对称，$P(Z \leq 0) = 0.5$。
答案： $\boxed{0.5}$（或$\boxed{\frac{1}{2}}$）
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的线性组合性质及概率计算。
解题核心思路：
- 确定线性组合后的正态分布参数：利用独立正态变量线性组合的均值和方差公式，计算新变量的均值和方差。
- 对称性求概率：根据正态分布关于均值对称的性质，直接得出概率值。
破题关键点：
- 独立性保证方差相加：由于$X$和$Y$独立，线性组合的方差可直接相加。
- 均值为0的对称性：当正态分布的均值为0时，$P(Z \leq 0) = 0.5$。
设$Z = 3X + 2Y$，其中$X \sim N(0, 4)$，$Y \sim N(0, 9)$，且$X$与$Y$独立。
步骤1：计算均值
根据线性组合的期望公式：
$E(Z) = 3E(X) + 2E(Y) = 3 \times 0 + 2 \times 0 = 0.$
步骤2：计算方差
由于$X$和$Y$独立，协方差为0，方差公式为：
$\begin{aligned}\text{Var}(Z) &= \text{Var}(3X) + \text{Var}(2Y) \\&= 3^2 \cdot \text{Var}(X) + 2^2 \cdot \text{Var}(Y) \\&= 9 \times 4 + 4 \times 9 \\&= 36 + 36 = 72.\end{aligned}$
步骤3：确定分布
$Z$服从正态分布$N(0, 72)$。
步骤4：计算概率
由于正态分布关于均值对称，且均值为0，故：
$P(Z \leq 0) = 0.5.$