题目
4、已知Xsim N(mu,sigma^2)，其中μ已知，σ²未知，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的简单随机样本，则下式中为统计量的是（）。A. (1)/(n)sum_(i=1)^n(X_(i)-mu)^2B. (1)/(n)sum_(i=1)^n((X_(i)-mu)/(sigma))^2C. (1)/(sigma^2)sum_(i=1)^nX_(i)D. (1)/(n)sum_(i=1)^n(|X_(i)-mu|)/(sigma)
4、已知$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其中μ已知，σ²未知，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的简单随机样本，则下式中为统计量的是（）。
A. $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}$
B. $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\frac{X_{i}-\mu}{\sigma})^{2}$
C. $\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$
D. $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{|X_{i}-\mu|}{\sigma}$
题目解答
答案
A. $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}$
解析
统计量的定义是不含任何未知参数的样本函数。本题中，总体均值$\mu$已知，方差$\sigma^2$未知。因此，选项中若出现未知参数$\sigma$或$\sigma^2$，则该式子不是统计量。需逐一分析各选项是否依赖未知参数。
选项分析
选项A：$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}$
- 仅依赖样本和已知参数$\mu$，计算时不需要$\sigma$或$\sigma^2$。
- 结论：是统计量。
选项B：$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_{i}-\mu}{\sigma}\right)^{2}$
- 分母包含未知参数$\sigma$，无法通过样本直接计算。
- 结论：不是统计量。
选项C：$\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$
- 分母包含未知参数$\sigma^2$，依赖总体方差。
- 结论：不是统计量。
选项D：$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{|X_{i}-\mu|}{\sigma}$
- 分母包含未知参数$\sigma$，无法通过样本确定。
- 结论：不是统计量。