13. (5.0分) 设随机变量X~N(1/4，9)，以Y表示对X的5次独立重复观察中“X≤1/4”出现的次数，则P(Y=2)=____。A. 5/16B. 11/16C. 1/16D. 1/32

本题主要考查正态分布、二项分布的概率计算，具体步骤如下：

步骤1：确定随机变量Y的分布

题目中，$Y$表示对$X$的5次独立重复观察中“$X \leq 1/4$”出现的次数。每次观察中，“$X \leq 1/4$”是一个伯努利试验（只有“成功”或“失败”两种结果），且5次观察独立，因此$Y$服从二项分布$Y \sim B(n,p)$，其中：

• $n=5$（试验次数），
• $p=P(X \leq 1/4)$（每次试验“成功”的概率）。

步骤2：计算$p=P(X \leq 1/4)$

已知$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中$\mu=1/4$（均值怠?），$\sigma^2=9$（方差），故$\sigma=3$（标准差）。
对于正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，有$P(X \leq \mu)=\frac{1}{2}$（正态分布关于均值对称）。
因此：
$p=P(X \leq 1/4)=P(X \leq \mu)=\frac{1}{2}$

步骤3：计算$P(Y=2)$

二项分布的概率公式为：
$P(Y=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
代入$n=5$，$k=2$，$p=1/2$：
$P(Y=2)=C_5^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{5-2}$

计算组合数$C_5^2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5 \times 4}{2 \times 1}=10$，代入得：
$P(Y=2)=10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5=10 \times \frac{1}{32}=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}$