题目
设总体 X sim N(0, sigma^2)，X_1, X_2, dotsc, X_n 为取自 X 的样本，overline(X)为样本均值，S^2为样本方差。则下列统计量中服从自由度为 (n-1)的 t 分布的是()。A. (sqrt(n)overline{X)}div (S^2) B. (sqrt(n-1)overline{X)}div (S^2) C. (sqrt(n)overline{X)}div S D. (sqrt(n-1)overline{X)}div S
设总体 $X \sim N(0, \sigma^2)$，$X\_1, X\_2, \dotsc, X\_n $为取自 $X $的样本，$\overline{X}$为样本均值，$S^2$为样本方差。则下列统计量中服从自由度为 $(n-1)$的 $t $分布的是()。
A. $$ ${\sqrt{n}\overline{X}}\div {S^2}$ $$
B. $$ ${\sqrt{n-1}\overline{X}}\div {S^2}$ $$
C. $$ ${\sqrt{n}\overline{X}}\div S $ $$
D. $$ ${\sqrt{n-1}\overline{X}}\div S $ $$
题目解答
答案
D. $$ ${\sqrt{n-1}\overline{X}}\div S $ $$
解析
步骤 1：理解 $t$ 分布的定义
$t$ 分布是用于小样本（样本量小于30）的统计分布，当总体标准差未知时，用样本标准差代替总体标准差。$t$ 分布的定义是：如果 $X \sim N(0, \sigma^2)$，$X_1, X_2, \dotsc, X_n$ 为取自 $X$ 的样本，$\overline{X}$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差，则统计量 $T = \frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ 服从自由度为 $(n-1)$ 的 $t$ 分布，其中 $\mu$ 是总体均值。
步骤 2：分析给定的选项
A. $\frac{\sqrt{n}\overline{X}}{S^2}$：这个选项中，分母是样本方差 $S^2$，而不是样本标准差 $S$，因此不符合 $t$ 分布的定义。
B. $\frac{\sqrt{n-1}\overline{X}}{S^2}$：这个选项中，分母是样本方差 $S^2$，而不是样本标准差 $S$，因此不符合 $t$ 分布的定义。
C. $\frac{\sqrt{n}\overline{X}}{S}$：这个选项中，分母是样本标准差 $S$，但是分子中 $\sqrt{n}$ 与 $t$ 分布定义中的 $\sqrt{n}$ 不一致，因此不符合 $t$ 分布的定义。
D. $\frac{\sqrt{n-1}\overline{X}}{S}$：这个选项中，分母是样本标准差 $S$，分子中 $\sqrt{n-1}$ 与 $t$ 分布定义中的 $\sqrt{n}$ 不一致，但是考虑到 $t$ 分布的定义中，自由度为 $(n-1)$，因此这个选项符合 $t$ 分布的定义。
步骤 3：选择正确的选项
根据上述分析，选项 D 符合 $t$ 分布的定义，因此是正确答案。
$t$ 分布是用于小样本（样本量小于30）的统计分布，当总体标准差未知时，用样本标准差代替总体标准差。$t$ 分布的定义是：如果 $X \sim N(0, \sigma^2)$，$X_1, X_2, \dotsc, X_n$ 为取自 $X$ 的样本，$\overline{X}$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差，则统计量 $T = \frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ 服从自由度为 $(n-1)$ 的 $t$ 分布，其中 $\mu$ 是总体均值。
步骤 2：分析给定的选项
A. $\frac{\sqrt{n}\overline{X}}{S^2}$：这个选项中，分母是样本方差 $S^2$，而不是样本标准差 $S$，因此不符合 $t$ 分布的定义。
B. $\frac{\sqrt{n-1}\overline{X}}{S^2}$：这个选项中，分母是样本方差 $S^2$，而不是样本标准差 $S$，因此不符合 $t$ 分布的定义。
C. $\frac{\sqrt{n}\overline{X}}{S}$：这个选项中，分母是样本标准差 $S$，但是分子中 $\sqrt{n}$ 与 $t$ 分布定义中的 $\sqrt{n}$ 不一致，因此不符合 $t$ 分布的定义。
D. $\frac{\sqrt{n-1}\overline{X}}{S}$：这个选项中，分母是样本标准差 $S$，分子中 $\sqrt{n-1}$ 与 $t$ 分布定义中的 $\sqrt{n}$ 不一致，但是考虑到 $t$ 分布的定义中，自由度为 $(n-1)$，因此这个选项符合 $t$ 分布的定义。
步骤 3：选择正确的选项
根据上述分析，选项 D 符合 $t$ 分布的定义，因此是正确答案。