题目
已知sim N(-(2,0.4)^2) , _则sim N(-(2,0.4)^2) _。
已知
, _则
_。
题目解答
答案
解：
由期望的性质可知：
∴
∵
∴
由期望与方差的关系可知：
代入已知数值可得：
∴
∴
解析
步骤 1：确定随机变量X的期望和方差
已知$X\sim N(-{2,0.4}^{2})$，即$X$服从均值为$-2$，方差为$0.4^2=0.16$的正态分布。因此，$E(X)=-2$，$D(X)=0.16$。
步骤 2：利用期望的性质计算$E{(X+2)}^{2}$
根据期望的性质，$E(aX+b)=aE(X)+b$，我们有$E{(X+2)}^{2}=E({X}^{2}+4X+4)$。进一步，$E({X}^{2}+4X+4)=E({X}^{2})+4E(X)+4$。
步骤 3：利用方差与期望的关系计算$E({X}^{2})$
由方差与期望的关系$D(X)=E({X}^{2})-{E}^{2}(X)$，代入已知数值可得$E({X}^{2})=D(X)+{E}^{2}(X)=0.16+(-2)^2=0.16+4=4.16$。
步骤 4：计算$E{(X+2)}^{2}$
将$E({X}^{2})=4.16$，$E(X)=-2$代入$E({X}^{2}+4X+4)=E({X}^{2})+4E(X)+4$，得到$E({X}^{2}+4X+4)=4.16+4\times (-2)+4=4.16-8+4=-8.16$。
已知$X\sim N(-{2,0.4}^{2})$，即$X$服从均值为$-2$，方差为$0.4^2=0.16$的正态分布。因此，$E(X)=-2$，$D(X)=0.16$。
步骤 2：利用期望的性质计算$E{(X+2)}^{2}$
根据期望的性质，$E(aX+b)=aE(X)+b$，我们有$E{(X+2)}^{2}=E({X}^{2}+4X+4)$。进一步，$E({X}^{2}+4X+4)=E({X}^{2})+4E(X)+4$。
步骤 3：利用方差与期望的关系计算$E({X}^{2})$
由方差与期望的关系$D(X)=E({X}^{2})-{E}^{2}(X)$，代入已知数值可得$E({X}^{2})=D(X)+{E}^{2}(X)=0.16+(-2)^2=0.16+4=4.16$。
步骤 4：计算$E{(X+2)}^{2}$
将$E({X}^{2})=4.16$，$E(X)=-2$代入$E({X}^{2}+4X+4)=E({X}^{2})+4E(X)+4$，得到$E({X}^{2}+4X+4)=4.16+4\times (-2)+4=4.16-8+4=-8.16$。