题目
设X_(1),X_(2),...,X_(n)是取自总体X的样本，E(X)=0，Var(X)=sigma^2，sigma^2>0，sigma^2未知，且E(X^4)<infty，则对任意varepsilon>0，下列结论中正确的是（）.选项A：lim_(ntoinfty)P(|(1)/(n)sum_(k=1)^nX_(k)-sigma^2|<varepsilon)=1选项B：lim_(ntoinfty)P(|(1)/(n)sum_(k=1)^nX_(k)-sigma^2|<varepsilon)=0选项C：lim_(ntoinfty)P(|(1)/(n)sum_(k=1)^nX_(k)^2-sigma^2|<varepsilon)=1选项D：lim_(ntoinfty)P(|(1)/(n)sum_(k=1)^nX_(k)^2-sigma^2|<varepsilon)=0
设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是取自总体X的样本，$E(X)=0$，$Var(X)=\sigma^{2}$，$\sigma^{2}>0$，$\sigma^{2}$未知，且$E(X^{4})<\infty$，则对任意$\varepsilon>0$，下列结论中正确的是（）.
选项A：$\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_{k}-\sigma^{2}\right|<\varepsilon\right)=1$
选项B：$\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_{k}-\sigma^{2}\right|<\varepsilon\right)=0$
选项C：$\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_{k}^{2}-\sigma^{2}\right|<\varepsilon\right)=1$
选项D：$\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_{k}^{2}-\sigma^{2}\right|<\varepsilon\right)=0$
题目解答
答案
答案：C
解析：
A. 考虑样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k$，由大数定律，$\bar{X}$ 收敛于 $E(X) = 0$。选项中为 $\left|\bar{X} - \sigma^2\right|$，由于 $\sigma^2 > 0$，概率趋近于 0，故错误。
B. 同选项 A，$\bar{X}$ 收敛于 0，概率趋近于 0，故错误。
C. 考虑样本平方和的均值 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k^2$，由大数定律，其收敛于 $E(X^2) = \sigma^2$，概率趋近于 1，故正确。
D. 同选项 C，概率趋近于 1，故错误。
结论： 正确选项为 $\boxed{C}$。