题目

1.[计算题]求置信区间:7.设两位化验员A，B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为s_(A)^2=0.5415，s_(B)^2=0.6065。设sigma_(A)^2，sigma_(B)^2分别为A，B所测定的测定值总体的方差。设总体均为正态总体，且两样本相互独立，求方差比sigma_(A)^2/sigma_(B)^2的0.95置信区间。

1.[计算题]求置信区间: 7.设两位化验员A，B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为$s_{A}^{2}=0.5415$，$s_{B}^{2}=0.6065$。设$\sigma_{A}^{2}$，$\sigma_{B}^{2}$分别为A，B所测定的测定值总体的方差。设总体均为正态总体，且两样本相互独立，求方差比$\sigma_{A}^{2}/\sigma_{B}^{2}$的0.95置信区间。

题目解答

答案

为了求方差比 $\sigma_A^2 / \sigma_B^2$ 的 0.95 置信区间，我们使用 F 分布。F 分布用于比较两个正态总体的方差。给定的样本方差为 $s_A^2 = 0.5415$ 和 $s_B^2 = 0.6065$，样本大小为 $n_A = 10$ 和 $n_B = 10$。因此，自由度为 $df_A = n_A - 1 = 9$ 和 $df_B = n_B - 1 = 9$。 方差比 $\sigma_A^2 / \sigma_B^2$ 的置信区间由下式给出： \[ \left( \frac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2, df_A, df_B}}, \frac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \frac{1}{F_{1-\alpha/2, df_A, df_B}} \right) \] 其中 $F_{\alpha/2, df_A, df_B}$ 和 $F_{1-\alpha/2, df_A, df_B}$ 是 F 分布的上侧和下侧临界值，分别对应于显著性水平 $\alpha/2$ 和 $1 - \alpha/2$，自由度为 $df_A$ 和 $df_B$。对于 95% 的置信区间，$\alpha = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$ 和 $1 - \alpha/2 = 0.975$。 首先，我们计算 $s_A^2 / s_B^2$： \[ \frac{s_A^2}{s_B^2} = \frac{0.5415}{0.6065} \approx 0.8937 \] 接下来，我们找到 F 分布的临界值。使用 F 分布表或统计软件，我们发现： \[ F_{0.025, 9, 9} \approx 4.03 \quad \text{和} \quad F_{0.975, 9, 9} \approx 0.248 \] 现在，我们可以计算置信区间的上下限： \[ \left( 0.8937 \cdot \frac{1}{4.03}, 0.8937 \cdot \frac{1}{0.248} \right) \approx \left( 0.8937 \cdot 0.2481, 0.8937 \cdot 4.032 \right) \approx (0.2215, 3.5995) \] 因此，方差比 $\sigma_A^2 / \sigma_B^2$ 的 0.95 置信区间为： \[ \boxed{(0.2215, 3.5995)} \]

解析

本题考查两个正态总体方差比的置信区间的求解，解题思路如下：

  1. 明确本题是求两个正态总体方差比$\frac{\sigma_{A}^{2}}{\sigma_{B}^{2}}$的置信区间，应使用$F$分布来进行计算。
  2. 确定样本方差$s_{A}^{2}=0.5415$，$s_{B}^{2}=0.6065$，样本大小$n_{A}=n_{B}=10$，进而计算自由度$df_{A}=n_{A}-1 = 9$，$df_{B}=n_{B}-1 = 9$。
  3. 对于$95\%$的置信区间，确定显著性水平$\alpha = 0.05$，则$\frac{\alpha}{2}=0.025$，$1 - \frac{\alpha}{2}=0.975$。
  4. 计算$\frac{s_{A}^{2}}{s_{B}^{2}}$的值：
    • 根据公式$\frac{s_{A}^{2}}{s_{B}^{2}}=\frac{0.5415}{0.6065}\approx0.8937$。
  5. 查找$F$分布的临界值$F_{\frac{\alpha}{2},df_{A},df_{B}}$和$F_{1 - \frac{\alpha}{2},df_{A},df_{B}}$：
    • 通过$F$分布表或统计软件，得到$F_{0.025,9,9}\approx4.03$，$F_{0.975,9,9}\approx0.248$。
  6. 计算方差比$\frac{\sigma_{A}^{2}}{\sigma_{B}^{2}}$的置信区间$(\frac{s_{A}^{2}}{s_{B}^{2}}\cdot\frac{1}{F_{\frac{\alpha}{2},df_{A},df_{B}}},\frac{s_{A}^{2}}{s_{B}^{2}}\cdot\frac{1}{F_{1 - \frac{\alpha}{2},df_{A},df_{B}}})$：
    • 下限为$\frac{s_{A}^{2}}{s_{B}^{2}}\cdot\frac{1}{F_{\frac{\alpha}{2},df_{A},df_{B}}}=0.8937\times\frac{1}{4.03}\approx0.8937\times0.2481\approx0.2215$。
    • 上限为$\frac{s_{A}^{2}}{s_{B}^{2}}\cdot\frac{1}{F_{1 - \frac{\alpha}{2},df_{A},df_{B}}}=0.8937\times\frac{1}{0.248}\approx0.8937\times4.032\approx3.5995$。