题目

设随机变量X_1, X_2独立同分布(方差大于零)，令X = X_1 + aX_2, Y = X_1 + bX_2 (a, b neq 0)，如果X, Y不相关，则有（）A a和b一定相等B a和b互为倒数C a和b互为负倒数D a和b可以是任意常数

设随机变量$X_1, X_2$独立同分布(方差大于零)，令$X = X_1 + aX_2, Y = X_1 + bX_2 (a, b \neq 0)$，如果$X, Y$不相关，则有（）

A $a$和$b$一定相等

B $a$和$b$互为倒数

C $a$和$b$互为负倒数

D $a$和$b$可以是任意常数

题目解答

答案

这是一道关于概率论中随机变量相关性的题目。我们需要通过计算随机变量 $X$ 和 $Y$ 的协方差来找出 $a$ 和 $b$ 之间的关系。

推理过程如下：

  1. 已知条件分析：

    • 随机变量 $X_1, X_2$ 独立同分布。
    • 方差大于零，设 $D(X_1) = D(X_2) = \sigma^2 > 0$。
    • 因为 $X_1, X_2$ 独立，所以它们的协方差为 $0$，即 $\text{Cov}(X_1, X_2) = 0$。
    • 定义了两个新的随机变量：$X = X_1 + aX_2$，$Y = X_1 + bX_2$（其中 $a, b \neq 0$）。
    • 已知 $X$ 和 $Y$ 不相关。

  2. 利用不相关的条件：

    • 如果两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 不相关，那么它们的协方差为零，即 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。

  3. 计算协方差 $\text{Cov}(X, Y)$：

    • 根据协方差的性质，$\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(X_1 + aX_2, X_1 + bX_2)$。
    • 利用协方差的双线性性质展开：
      $\text{Cov}(X_1 + aX_2, X_1 + bX_2) = \text{Cov}(X_1, X_1) + \text{Cov}(X_1, bX_2) + \text{Cov}(aX_2, X_1) + \text{Cov}(aX_2, bX_2)$
    • 进一步化简各项：
      • $\text{Cov}(X_1, X_1) = D(X_1) = \sigma^2$
      • $\text{Cov}(X_1, bX_2) = b \cdot \text{Cov}(X_1, X_2) = b \cdot 0 = 0$ （因为 $X_1, X_2$ 独立）
      • $\text{Cov}(aX_2, X_1) = a \cdot \text{Cov}(X_2, X_1) = a \cdot 0 = 0$ （因为 $X_1, X_2$ 独立）
      • $\text{Cov}(aX_2, bX_2) = a \cdot b \cdot \text{Cov}(X_2, X_2) = ab \cdot D(X_2) = ab\sigma^2$
    • 将上述结果代回原式：
      $\text{Cov}(X, Y) = \sigma^2 + 0 + 0 + ab\sigma^2 = \sigma^2(1 + ab)$

  4. 得出结论：

    • 因为 $X$ 和 $Y$ 不相关，所以 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。
    • 即 $\sigma^2(1 + ab) = 0$。
    • 已知方差 $\sigma^2 > 0$，因此必须有 $1 + ab = 0$。
    • 解得 $ab = -1$。
    • 这意味着 $a$ 和 $b$ 互为负倒数。

结论：
根据以上推理，$a$ 和 $b$ 互为负倒数。对比选项，正确答案是 C。