已知y=f（x）与y=g（x）都是定义在（0，+∞）上的函数，若对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有 g（x_1）≤(f（x_1）-f（x_2）)/(x_1-x_2)≤g（x_2），则称y=g（x）是y=f（x）的一个“控制函数”．（1）判断y=2x是否为函数y=x2（x＞0）的一个控制函数，并说明理由；（2）设f（x）=lnx的导数为f'（x），0＜a＜b，求证：关于x的方程(f（b）-f（a）)/(b-a)=f'（x）在区间（a，b）上有实数解；（3）设f（x）=xlnx，函数y=f（x）是否存在控制函数？若存在，请求出y=f（x）的所有控制函数；若不存在，请说明理由．

步骤 1：判断y=2x是否为函数y=x^{2}（x＞0）的一个控制函数
对任意0＜x_1＜x_2，则$\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2}=\frac{（x_1-x_2）（x_1+x_2）}{x_1-x_2}=x_1+x_2$，且$2x_1\lex_1+x_2≤2x_2$，
故y=2x是函数y=x^{2}（x＞0）的一个控制函数．
步骤 2：证明关于x的方程$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}=f'（x）$在区间（a，b）上有实数解
设h（x）=lnx-x+1，则h′（x）=$\frac{1-x}{x}＜0$⇒x＞1，h（x）在（1，+∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增，
则h（x）≤h（1）⇒lnx-x+1≤0，当且仅当x=1时，等号成立，
因为0＜a＜b，则$ln\frac{a}{b}-\frac{a}{b}+1＜0$⇒$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}＞\frac{1}{b}$；$ln\frac{b}{a}-\frac{b}{a}+1＜0$⇒$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}＜\frac{1}{a}$，
则$\frac{1}{b}＜\frac{f（b）-f（a）}{b-a}＜\frac{1}{a}$，
$f'（x）=\frac{1}{x}$在区间（a，b）上的值域为$（\frac{1}{b}，\frac{1}{a}）$，
则$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}=f′（x）$在区间（a，b）上有实数解．
步骤 3：判断f（x）=xlnx是否存在控制函数
f（x）=xlx，则$\frac{f（x_1）-f（x_2）}{x_1-x_2}=\frac{x_1lnx_1-x_2lnx_2}{x_1-x_2}$，其中0＜x_1＜x_2，
$\frac{x_1lnx_1-x_2lnx_2}{x_1-x_2}-lnx_1$=$\frac{x_1lnx_1-x_2lnx_2}{x_1-x_2}-\frac{x_1lnx_1-x_2lnx_1}{x_1-x_2}$=$\frac{x_2（lnx_1-lnx_2）}{x_1-x_2}$＞0，
则$\frac{x_1lnx_1-x_2lnx_2}{x_1-x_2}＞lnx_1$，同理$\frac{x_1lnx_1-x_2lnx_2}{x_1-x，lnx_2}$＜lnx_2，
即$lnx_1＜\frac{f（x_1）-f（x_2）}{x_1-x_2}＜lnx_2$，
则y=lnx是y=f（x）的一个控制函数．