4、若随机变量X,Y满足 (X+Y)=D(X-Y), 则下列式子正确的是 ()-|||-(A)X与Y相互独立 (B) D(X)D(Y)=0-|||-(C)X与Y不相关 (D) D(Y)=0

步骤 1：理解方差的性质
方差的性质之一是：对于两个随机变量X和Y，有
\[ D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 \cdot \text{cov}(X,Y) \]
\[ D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot \text{cov}(X,Y) \]
其中，\(\text{cov}(X,Y)\)表示X和Y的协方差。

步骤 2：应用方差的性质
根据题目条件，有
\[ D(X+Y) = D(X-Y) \]
代入方差的性质，得到
\[ D(X) + D(Y) + 2 \cdot \text{cov}(X,Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot \text{cov}(X,Y) \]

步骤 3：简化方程
将方程两边的\(D(X)\)和\(D(Y)\)消去，得到
\[ 2 \cdot \text{cov}(X,Y) = -2 \cdot \text{cov}(X,Y) \]
即
\[ 4 \cdot \text{cov}(X,Y) = 0 \]
因此
\[ \text{cov}(X,Y) = 0 \]

步骤 4：理解协方差为0的含义
协方差为0意味着X和Y不相关。不相关并不意味着X和Y相互独立，也不意味着\(D(X)D(Y)=0\)或\(D(Y)=0\)。