题目

3.设随机变量X_(1),X_(2),...,X_(9)相互独立且同分布，而且有EX_(i)=1，DX_(i)=1(i=1,2,...,9)令X=sum_(i=1)^9X_(i)，则对任意给定的varepsilon>0，由切比雪夫不等式直接可得P|X-9|<varepsilongeq_.

3.设随机变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{9}$相互独立且同分布，而且有$EX_{i}=1$，$DX_{i}=1(i=1,2,\cdots,9)$令$X=\sum_{i=1}^{9}X_{i}$，则对任意给定的$\varepsilon>0$，由切比雪夫不等式直接可得$P\{|X-9|<\varepsilon\}\geq\_\.$

题目解答

答案

根据题目给出的条件，我们需要利用切比雪夫不等式来求解概率的下界。

第一步：计算随机变量 $X$ 的数学期望和方差

已知随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 相互独立且同分布，并且有：
$E(X_i) = 1$
$D(X_i) = 1 \quad (i = 1, 2, \cdots, 9)$

令 $X = \sum_{i=1}^{9} X_i$。

根据数学期望的性质（和的期望等于期望的和）：
$E(X) = E\left(\sum_{i=1}^{9} X_i\right) = \sum_{i=1}^{9} E(X_i) = \sum_{i=1}^{9} 1 = 9$

因为 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 相互独立，根据方差的性质（独立随机变量和的方差等于方差的和）：
$D(X) = D\left(\sum_{i=1}^{9} X_i\right) = \sum_{i=1}^{9} D(X_i) = \sum_{i=1}^{9} 1 = 9$

第二步：应用切比雪夫不等式

切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量 $X$，若其数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 存在，则对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，有：
$P\{|X - E(X)| < \varepsilon\} \geq 1 - \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$

第三步：代入已知数据求解

将我们计算得到的 $E(X) = 9$ 和 $D(X) = 9$ 代入上述不等式中：
$P\{|X - 9| < \varepsilon\} \geq 1 - \frac{9}{\varepsilon^2}$

因此，由切比雪夫不等式直接可得的结果为 $1 - \frac{9}{\varepsilon^2}$。

最终答案：
$1 - \frac{9}{\varepsilon^2}$

解析

本题考查切比雪夫不等式的应用。解题思路是先根据已知条件求出随机变量$X$的数学期望和方差，再将其代入切比雪夫不等式来求解$P\{|X - 9| \lt \varepsilon\}$的下界。

  1. 计算随机变量$X$的数学期望$E(X)$：
    已知随机变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{9}$相互独立且同分布，且$E(X_{i}) = 1$，$i = 1,2,\cdots,9$，令$X=\sum_{i = 1}^{9}X_{i}$。
    根据数学期望的性质：对于任意随机变量$Y_1,Y_2,\cdots,Y_n$，有$E(\sum_{i = 1}^{n}Y_i)=\sum_{i = 1}^{n}E(Y_i)$。
    所以$E(X)=E(\sum_{i = 1}^{9}X_{i})=\sum_{i = 1}^{9}E(X_{i})$，将$E(X_{i}) = 1$代入可得：
    $E(X)=\sum_{i = 1}^{9}1=9$
  2. 计算随机变量$X$的方差$D(X)$：
    已知随机变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{9}$相互独立且同分布，且$D(X_{i}) = 1$，$i = 1,2,\cdots,9$，令$X=\sum_{i = 1}^{9}X_{i}$。
    根据方差的性质：对于相互独立的随机变量$Y_1,Y_2,\cdots,Y_n$，有$D(\sum_{i = 1}^{n}Y_i)=\sum_{i = 1}^{n}D(Y_i)$。
    所以$D(X)=D(\sum_{i = 1}^{9}X_{i})=\sum_{i = 1}^{9}D(X_{i})$，将$D(X_{i}) = 1$代入可得：
    $D(X)=\sum_{i = 1}^{9}1=9$
  3. 应用切比雪夫不等式：
    切比雪夫不等式为：对于任意随机变量$X$，若其数学期望$E(X)$和方差$D(X)$存在，则对于任意给定的$\varepsilon\gt{}0$，有$P\{|X - E(X)| \lt \varepsilon\} \geq 1 - \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$。
  4. 代入$E(X)$和$D(X)$的值求解：
    将$E(X) = 9$，$D(X) = 9$代入切比雪夫不等式$P\{|X - E(X)| \lt \varepsilon\} \geq 1 - \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$中，可得：
    $P\{|X - 9| \lt \varepsilon\} \geq 1 - \frac{9}{\varepsilon^2}$