题目
若'(0)=2，则'(0)=2（ ）。A. 4B. -4C. 2D. -2
若
，则
（ ）。
A. 4
B. -4
C. 2
D. -2
题目解答
答案
1. 首先进行分析：
已知，根据导数的定义
。
那么在这里，当
，
时，
。
进一步变形可得
。
2. 然后计算所求极限：
而
。
把代入可得：
。
所以答案是 B。
解析
步骤 1：理解导数定义
根据导数的定义，$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$。这里，$x_0 = 0$，$h = -\frac{2}{n}$，所以$f'(0) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(0 + (-\frac{2}{n})) - f(0)}{-\frac{2}{n}}$。
步骤 2：变形导数表达式
变形导数表达式，得到$f'(0) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(\frac{-2}{n}) - f(0)}{-\frac{2}{n}}$。进一步变形可得$\lim_{n \to \infty} \frac{f(0) - f(\frac{-2}{n})}{\frac{2}{n}} = 2$。
步骤 3：计算所求极限
所求极限为$\lim_{n \to \infty} n[ f(0) - f(\frac{2}{n})] = -2\lim_{n \to \infty} \frac{f(0) - f(\frac{2}{n})}{\frac{2}{n}}$。把$\lim_{n \to \infty} \frac{f(0) - f(\frac{-2}{n})}{\frac{2}{n}} = 2$代入可得：$-2 \times 2 = -4$。
根据导数的定义，$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$。这里，$x_0 = 0$，$h = -\frac{2}{n}$，所以$f'(0) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(0 + (-\frac{2}{n})) - f(0)}{-\frac{2}{n}}$。
步骤 2：变形导数表达式
变形导数表达式，得到$f'(0) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(\frac{-2}{n}) - f(0)}{-\frac{2}{n}}$。进一步变形可得$\lim_{n \to \infty} \frac{f(0) - f(\frac{-2}{n})}{\frac{2}{n}} = 2$。
步骤 3：计算所求极限
所求极限为$\lim_{n \to \infty} n[ f(0) - f(\frac{2}{n})] = -2\lim_{n \to \infty} \frac{f(0) - f(\frac{2}{n})}{\frac{2}{n}}$。把$\lim_{n \to \infty} \frac{f(0) - f(\frac{-2}{n})}{\frac{2}{n}} = 2$代入可得：$-2 \times 2 = -4$。