题目
设零件直径服从正态分布N(μ,σ^2)，随机抽取了 5 个 零件测得这 5 个 零件 直径 ( mm ) 的样本均值N(μ,σ^2)，样本方差N(μ,σ^2)，则总体方差N(μ,σ^2)的置信水平为 0.95 的置信区间为（ ）N(μ,σ^2)( A ) [ 0.03 , 0.25 ] ( B ) [ 0.05 , 1 ] ( C ) [ 0.05 , 0.25 ] ( D ) [ 0.3 , 1 ]
设零件直径服从正态分布
，随机抽取了 5 个 零件测得这 5 个 零件 直径 ( mm ) 的样本均值
，样本方差
，则总体方差
的置信水平为 0.95 的置信区间为（ ）
( A ) [ 0.03 , 0.25 ]
( B ) [ 0.05 , 1 ]
( C ) [ 0.05 , 0.25 ]
( D ) [ 0.3 , 1 ]
题目解答
答案
∵
∴
选择B
解析
步骤 1：确定置信区间的公式
总体方差的置信区间公式为：$\left[\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right]$
其中，$n$是样本容量，$S^2$是样本方差，$\chi^2_{\alpha/2}(n-1)$和$\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$分别是自由度为$n-1$的卡方分布的分位数。
步骤 2：代入已知值
已知$n=5$，$S^2=0.125$，$\chi^2_{0.025}(4)=11.0$，$\chi^2_{0.975}(4)=0.5$，代入公式得：
$\left[\dfrac{(5-1)\times 0.125}{11.0}, \dfrac{(5-1)\times 0.125}{0.5}\right]$
步骤 3：计算置信区间
计算得：
$\left[\dfrac{4\times 0.125}{11.0}, \dfrac{4\times 0.125}{0.5}\right] = \left[\dfrac{0.5}{11.0}, \dfrac{0.5}{0.5}\right] = [0.04545, 1]$
总体方差的置信区间公式为：$\left[\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right]$
其中，$n$是样本容量，$S^2$是样本方差，$\chi^2_{\alpha/2}(n-1)$和$\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$分别是自由度为$n-1$的卡方分布的分位数。
步骤 2：代入已知值
已知$n=5$，$S^2=0.125$，$\chi^2_{0.025}(4)=11.0$，$\chi^2_{0.975}(4)=0.5$，代入公式得：
$\left[\dfrac{(5-1)\times 0.125}{11.0}, \dfrac{(5-1)\times 0.125}{0.5}\right]$
步骤 3：计算置信区间
计算得：
$\left[\dfrac{4\times 0.125}{11.0}, \dfrac{4\times 0.125}{0.5}\right] = \left[\dfrac{0.5}{11.0}, \dfrac{0.5}{0.5}\right] = [0.04545, 1]$