求方程^3-x-1=0在1.5附近的实根^3-x-1=0,迭代公式^3-x-1=0有至少二阶的收敛速度。A.对B.错

考查要点：本题主要考查迭代法的收敛速度判断，涉及不动点迭代法的收敛阶数条件。

解题核心思路：
判断迭代公式 $x_k = \sqrt[3]{1 + x_{k-1}}$ 的收敛速度是否为至少二阶，需分析迭代函数 $g(x) = \sqrt[3]{1 + x}$ 在根 $x^*$ 处的导数 $g'(x^*)$ 是否为 $0$。若 $g'(x^*) = 0$，则迭代法为二阶收敛；否则为一阶收敛。

破题关键点：

1. 迭代函数的导数计算：计算 $g'(x)$ 并代入根 $x^*$。
2. 根的性质：利用原方程 $f(x) = x^3 - x - 1 = 0$，结合 $x^*$ 满足 $x^* \neq 0$，推导 $g'(x^*) \neq 0$。

步骤 1：确定迭代函数
原方程 $x^3 - x - 1 = 0$ 变形为 $x = \sqrt[3]{1 + x}$，对应迭代函数 $g(x) = \sqrt[3]{1 + x}$。

步骤 2：计算迭代函数的导数
$g'(x) = \frac{1}{3}(1 + x)^{-2/3}.$

步骤 3：代入根 $x^*$ 处的导数
根 $x^*$ 满足 $x^* = \sqrt[3]{1 + x^*}$，即 $x^* \neq 0$。代入得：
$g'(x^*) = \frac{1}{3}(1 + x^*)^{-2/3}.$

步骤 4：结合原方程简化表达式
由原方程 $x^*^3 = x^* + 1$，得 $1 + x^* = x^*^3$，代入上式：
$g'(x^*) = \frac{1}{3}(x^*^3)^{-2/3} = \frac{1}{3}x^*^{-2}.$

步骤 5：判断收敛阶数
由于 $x^*$ 是实根且 $x^* \neq 0$，故 $g'(x^*) = \frac{1}{3x^*^2} \neq 0$。因此，迭代法的收敛速度为一阶，而非二阶。