1.求下列函数的二阶导数:(1)y=2x^2+ln x;(3)y=xcos x;(5)y=sqrt(a^2)-x^(2);(7)y=tan x;(9)y=(1+x^2)arctan x;(11)y=xe^x^(2);<|im_end|>(11)y=x(e^x2);

本题主要考查函数二阶导数的求法。解题思路是先对给定函数求一阶导数，再对一阶导数求导得到二阶导数。在求导过程中，需要运用到基本函数的求导公式以及求导的四则运算法则。

(1) 对于函数 $y = 2x^{2}+\ln x$

• 求一阶导数 $y'$：
  根据求导的加法法则 $(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，分别对 $2x^{2}$ 和 $\ln x$ 求导。
  根据求导公式 $(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得 $(2x^{2})^\prime=2\times2x=4x$；
  根据求导公式 $(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得 $(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$。
  所以 $y^\prime=(2x^{2}+\ln x)^\prime=(2x^{2})^\prime+(\ln x)^\prime=4x+\frac{1}{x}$。
• 求二阶导数 $y''$：
  同样根据求导的加法法则，分别对 $4x$ 和 $\frac{1}{x}=x^{-1}$ 求导。
  $(4x)^\prime=4$；
  根据求导公式 $(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得 $(x^{-1})^\prime=-1\times x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$。
  所以 $y''=(4x+\frac{1}{x})^\prime=(4x)^\prime+(\frac{1}{x})^\prime=4-\frac{1}{x^2}$。

(3) 对于函数 $y = x\cos x$

• 求一阶导数 $y'$：
  根据求导的乘法法则 $(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$，令 $u = x$，$v = \cos x$。
  $u^\prime=(x)^\prime=1$，$v^\prime=(\cos x)^\prime=-\sin x$。
  所以 $y^\prime=(x\cos x)^\prime=(x)^\prime\cos x+x(\cos x)^\prime=1\times\cos x+x\times(-\sin x)=\cos x - x\sin x$。
• 求二阶导数 $y''$：
  根据求导的减法法则 $(u - v)^\prime=u^\prime - v^\prime$，分别对 $\cos x$ 和 $x\sin x$ 求导。
  $(\cos x)^\prime=-\sin x$；
  对于 $x\sin x$，再根据求导的乘法法则，令 $u = x$，$v = \sin x$，$u^\prime=(x)^\prime=1$，$v^\prime=(\sin x)^\prime=\cos x$，则 $(x\sin x)^\prime=(x)^\prime\sin x+x(\sin x)^\prime=1\times\sin x+x\times\cos x=\sin x + x\cos x$。
  所以 $y''=(\cos x - x\sin x)^\prime=(\cos x)^\prime-(x\sin x)^\prime=-\sin x-(\sin x + x\cos x)=-2\sin x - x\cos x$。

(5) 对于函数 $y = \sqrt{a^{2}-x^{2}}=(a^{2}-x^{2})^{\frac{1}{2}}$

• 求一阶导数 $y'$：
  根据复合函数求导法则，令 $u = a^{2}-x^{2}$，则 $y = u^{\frac{1}{2}}$。
  先对 $y$ 关于 $u$ 求导，$y^\prime_{u}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$；
  再对 $u$ 关于 $x$ 求导，$u^\prime_{x}=(a^{2}-x^{2})^\prime=-2x$。
  根据复合函数求导公式 $y^\prime_{x}=y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$，可得 $y^\prime=\frac{1}{2}(a^{2}-x^{2})^{-\frac{1}{2}}\times(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$。
• 求二阶导数 $y''$：
  将 $y^\prime=-\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$ 变形为 $y^\prime=-x(a^{2}-x^{2})^{-\frac{1}{2}}$，根据求导的乘法法则，令 $u = -x$，$v = (a^{2}-x^{2})^{-\frac{1}{2}}$。
  $u^\prime=(-x)^\prime=-1$；
  对于 $v = (a^{2}-x^{2})^{-\frac{1}{2}}$，再根据复合函数求导法则，令 $t = a^{2}-x^{2}$，则 $v = t^{-\frac{1}{2}}$，$v^\prime_{t}=-\frac{1}{2}t^{-\frac{3}{2}}$，$t^\prime_{x}=-2x$，所以 $v^\prime=v^\prime_{t}\cdot t^\prime_{x}=-\frac{1}{2}(a^{2}-x^{2})^{-\frac{3}{2}}\times(-2x)=x(a^{2}-x^{2})^{-\frac{3}{2}}$。
  则 $y''=u^\prime v+uv^\prime=-1\times(a^{2}-x^{2})^{-\frac{1}{2}}+(-x)\times x(a^{2}-x^{2})^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}-\frac{x^{2}}{(a^{2}-x^{2})^{\frac{3}{2}}}=-\frac{a^{2}-x^{2}+x^{2}}{(a^{2}-x^{2})^{\frac{3}{2}}}=-\frac{a^{2}}{(a^{2}-x^{2})^{\frac{3}{2}}}$。

(7) 对于函数 $y = \tan x$

• 求一阶导数 $y'$：
  根据求导公式 $(\tan x)^\prime=\sec^{2}x$，可得 $y^\prime=\sec^{2}x$。
• 求二阶导数 $y''$：
  将 $y^\prime=\sec^{2}x$ 变形为 $y^\prime=(\sec x)^{2}$，根据复合函数求导法则，令 $u = \sec x$，则 $y = u^{2}$。
  $y^\prime_{u}=2u$，$u^\prime_{x}=(\sec x)^\prime=\sec x\tan x$。
  根据复合函数求导公式 $y^\prime_{x}=y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$，可得 $y''=2\sec x\times\sec x\tan x=2\sec^{2}x\tan x$。

(9) 对于函数 $y = (1 + x^{2})\arctan x$

• 求一阶导数 $y'$：
  根据求导的乘法法则，令 $u = 1 + x^{2}$，$v = \arctan x$。
  $u^\prime=(1 + x^{2})^\prime=2x$，$v^\prime=(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}$。
  所以 $y^\prime=(1 + x^{2})^\prime\arctan x+(1 + x^{2})(\arctan x)^\prime=2x\arctan x+(1 + x^{2})\times\frac{1}{1 + x^{2}}=2x\arctan x + 1$。
• 求二阶导数 $y''$：
  根据求导的加法法则，分别对 $2x\arctan x$ 和 $1$ 求导。
  对于 $2x\arctan x$，根据求导的乘法法则，令 $u = 2x$，$v = \arctan x$，$u^\prime=(2x)^\prime=2$，$v^\prime=(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}$，则 $(2x\arctan x)^\prime=(2x)^\prime\arctan x+2x(\arctan x)^\prime=2\arctan x+\frac{2x}{1 + x^{2}}$；
  $(1)^\prime=0$。
  所以 $y''=(2x\arctan x + 1)^\prime=(2x\arctan x)^\prime+(1)^\prime=2\arctan x+\frac{2x}{1 + x^{2}}$。

(11) 对于函数 $y = xe^{x^{2}}$

• 求一阶导数 $y'$：
  根据求导的乘法法则，令 $u = x$，$v = e^{x^{2}}$。
  $u^\prime=(x)^\prime=1$；
  对于 $v = e^{x^{2}}$，根据复合函数求导法则，令 $t = x^{2}$，则 $v = e^{t}$，$v^\prime_{t}=e^{t}$，$t^\prime_{x}=2x$，所以 $v^\prime=v^\prime_{t}\cdot t^\prime_{x}=e^{x^{2}}\times2x=2xe^{x^{2}}$。
  则 $y^\prime=(x)^\prime e^{x^{2}}+x(e^{x^{2}})^\prime=1\times e^{x^{2}}+x\times2xe^{x^{2}}=e^{x^{2}}(1 + 2x^{2})$。
• 求二阶导数 $y''$：
  根据求导的乘法法则，令 $u = e^{x^{2}}$，$v = 1 + 2x^{2}$。
  $u^\prime=(e^{x^{2}})^\prime=2xe^{x^{2}}$，$v^\prime=(1 + 2x^{2})^\prime=4x$。
  则 $y''=(e^{x^{2}})^\prime(1 + 2x^{2})+e^{x^{2}}(1 + 2x^{2})^\prime=2xe^{x^{2}}(1 + 2x^{2})+e^{x^{2}}\times4x=2xe^{x^{2}}(1 + 2x^{2}+2)=2xe^{x^{2}}(2x^{2}+3)=e^{x^{2}}(4x^{3}+6x)$。