题目
有一汽车站有大量汽车通过,每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.0001,在某天该段时间内有 1000 辆汽车通过,求事故次数不少于 2 的概率。.
有一汽车站有大量汽车通过,每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.0001,在某天该段时间内有 1000 辆汽车通过,求事故次数不少
于 2 的概率。
.题目解答
答案
解 设 X 为 1000 辆汽车中出事故的次数, 依题意, X 服从
n 1000, p 0.0001的二项分布,即 X ~ B 1000,0.0001 ,由于 n 较大, p 较
小,因此也可以近似地认为 X 服从 np 1000 0.0001 0.1 的泊松分布,
即 X ~ P 0.1 ,所求概率为
PX21 | P X | P X 1 | ||
1 | 0.1 | e 0.1 | 0.11 e 0.1 | |
0! | 1! | |||
1 | 0.904837 | 0.090484 | 0.004679. |
解析
步骤 1：定义随机变量
设 X 为 1000 辆汽车中出事故的次数，根据题意，每辆汽车出事故的概率为 0.0001，因此 X 服从二项分布，即 X ~ B(1000, 0.0001)。
步骤 2：近似泊松分布
由于 n 较大，p 较小，可以近似地认为 X 服从泊松分布，即 X ~ P(λ)，其中 λ = np = 1000 * 0.0001 = 0.1。
步骤 3：计算概率
所求概率为 P(X ≥ 2)，即 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]。
根据泊松分布的概率公式，P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中 k = 0, 1。
P(X = 0) = (0.1^0 * e^(-0.1)) / 0! = e^(-0.1) ≈ 0.904837
P(X = 1) = (0.1^1 * e^(-0.1)) / 1! = 0.1 * e^(-0.1) ≈ 0.090484
因此，P(X ≥ 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 - [0.904837 + 0.090484] = 1 - 0.995321 = 0.004679。
设 X 为 1000 辆汽车中出事故的次数，根据题意，每辆汽车出事故的概率为 0.0001，因此 X 服从二项分布，即 X ~ B(1000, 0.0001)。
步骤 2：近似泊松分布
由于 n 较大，p 较小，可以近似地认为 X 服从泊松分布，即 X ~ P(λ)，其中 λ = np = 1000 * 0.0001 = 0.1。
步骤 3：计算概率
所求概率为 P(X ≥ 2)，即 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]。
根据泊松分布的概率公式，P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中 k = 0, 1。
P(X = 0) = (0.1^0 * e^(-0.1)) / 0! = e^(-0.1) ≈ 0.904837
P(X = 1) = (0.1^1 * e^(-0.1)) / 1! = 0.1 * e^(-0.1) ≈ 0.090484
因此，P(X ≥ 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 - [0.904837 + 0.090484] = 1 - 0.995321 = 0.004679。