对敌人的防御地段进行100次炮击，在每次炮击中，炮弹命中颗数的数学期望为2，标准差为1.5，求在100次炮击中，有180颗到220颗炮弹命中目标的概率.（标准正态分布varnothing left(1.33right)=0.9082）

本题主要考察独立同分布随机变量序列的的中心极限定理（莱维中心极限定理）的应用，用于近似计算独立同分布随机变量和的概率。

步骤1：问题转化与随机变量定义

设$X_k$表示第$k$次炮击的命中颗数，$X_k$相互独立，且：

• 期望$E(X_k)=2$，- 方差$D(X_k)=1.5^2=2.25$。
  100次炮击的总命中颗数$X=\sum_{k=1}^{100}X_k$，需计算$P\{180\leq X\leq220\}$。

步骤2：应用中心极限定理

对于独立同分布随机变量序列，当$n$较大时（$n=100$），$\frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}}$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。

• 总期望$100次)：\(E(X)=\sum_{k=1}^{100}E(X_k)=100\times2=200$
• 总方差(100次)：$D(X)=\sum_{k=1}^{100}D(X_k)=100\times2.25=225$，故标准差$\sqrt{D(X)}=15$。

步骤3：标准化与概率计算

将$X$标准化：$\frac{X-200}{15}\sim N(0,1)$（近似）。
则：
$P\{180\leq X\leq220\}=P\left\{\frac{180-200}{15}\leq\frac{X-200}{15}\leq\frac{200}{15}\right\}=P\{-1.33\leq Z\leq1.33\}$
其中$Z\sim N(0,1)$。
由标准正态分布性质：$P\{|Z|\leq x\}=2\Phi(x)-1$，已知$\varPhi(1.33)=0.9082$，故：
$P\{-1.33\leq Z\leq1.33\}=2\times0.9082-1=0.8164$