题目
三、计算题1.设总体X的概率函数为P(X=k)=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,其中p(0<1)为未知参数.如果取得样本观测值为x_(1),x_(2),...,x_(n),求p的极大似然估计值.
三、计算题
1.设总体X的概率函数为$P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k},k=0,1,$其中p(0
<1)为未知参数.如果取得样本观测值为$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},$求p的极大似然估计值.
题目解答
答案
似然函数为：
\[
L(p) = \prod_{i=1}^n p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i}
\]
取对数：
\[
\ln L(p) = \sum x_i \ln p + (n-\sum x_i) \ln (1-p)
\]
求导并设为零：
\[
\frac{d \ln L(p)}{dp} = \frac{\sum x_i}{p} - \frac{n-\sum x_i}{1-p} = 0
\]
解得：
\[
p = \frac{\sum x_i}{n}
\]
**答案：**
\[
\boxed{\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}}
\]
解析
步骤 1：写出似然函数
似然函数是基于样本观测值$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$，根据概率函数$P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k}$，对于每个观测值，其概率函数的乘积。因此，似然函数为：
\[ L(p) = \prod_{i=1}^n p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i} \]
步骤 2：对似然函数取对数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数：
\[ \ln L(p) = \sum x_i \ln p + (n-\sum x_i) \ln (1-p) \]
步骤 3：求导并设为零
为了找到极大似然估计值，我们需要对对数似然函数关于参数p求导，并设导数为零，解出p的值：
\[ \frac{d \ln L(p)}{dp} = \frac{\sum x_i}{p} - \frac{n-\sum x_i}{1-p} = 0 \]
解得：
\[ p = \frac{\sum x_i}{n} \]
似然函数是基于样本观测值$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$，根据概率函数$P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k}$，对于每个观测值，其概率函数的乘积。因此，似然函数为：
\[ L(p) = \prod_{i=1}^n p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i} \]
步骤 2：对似然函数取对数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数：
\[ \ln L(p) = \sum x_i \ln p + (n-\sum x_i) \ln (1-p) \]
步骤 3：求导并设为零
为了找到极大似然估计值，我们需要对对数似然函数关于参数p求导，并设导数为零，解出p的值：
\[ \frac{d \ln L(p)}{dp} = \frac{\sum x_i}{p} - \frac{n-\sum x_i}{1-p} = 0 \]
解得：
\[ p = \frac{\sum x_i}{n} \]