题目
21. (10分)某个计算机系统有120个终端，每个终端有10%的时间要与主机交换数据，如果同一时刻有超过20台的终端要与主机交换数据，系统将发生数据传送堵塞.假设各终端工作是相互独立的，用中心极限定理求系统发生堵塞现象的概率.参考数据如下：(sqrt(10.8)approx 3.29,Phi(2.43)=0.9925)(完)
21. (10分)某个计算机系统有120个终端，每个终端有10%的时间要与主机交换数据，如果同一时刻有超过20台的终端要与主机交换数据，系统将发生数据传送堵塞.假设各终端工作是相互独立的，用中心极限定理求系统发生堵塞现象的概率.参考数据如下：
$(\sqrt{10.8}\approx 3.29,\Phi(2.43)=0.9925)$
(完)
题目解答
答案
设 $S$ 为同一时刻需要交换数据的终端数，服从二项分布 $B(120, 0.1)$。期望 $E(S) = 12$，方差 $D(S) = 10.8$。由中心极限定理，$S$ 近似服从正态分布 $N(12, 10.8)$。
求 $P(S > 20)$：
\[
P(S > 20) = P\left(Z > \frac{20 - 12}{\sqrt{10.8}}\right) = P(Z > 2.43)
\]
已知 $\Phi(2.43) = 0.9925$，则
\[
P(Z > 2.43) = 1 - 0.9925 = 0.0075
\]
**答案：** $\boxed{0.0075}$
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $S$ 为同一时刻需要交换数据的终端数，$S$ 服从二项分布 $B(120, 0.1)$。
步骤 2：计算期望和方差
期望 $E(S) = np = 120 \times 0.1 = 12$，方差 $D(S) = np(1-p) = 120 \times 0.1 \times 0.9 = 10.8$。
步骤 3：应用中心极限定理
由中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$S$ 近似服从正态分布 $N(12, 10.8)$。
步骤 4：计算系统发生堵塞的概率
求 $P(S > 20)$： \[ P(S > 20) = P\left(Z > \frac{20 - 12}{\sqrt{10.8}}\right) = P(Z > 2.43) \] 已知 $\Phi(2.43) = 0.9925$，则 \[ P(Z > 2.43) = 1 - 0.9925 = 0.0075 \]
设 $S$ 为同一时刻需要交换数据的终端数，$S$ 服从二项分布 $B(120, 0.1)$。
步骤 2：计算期望和方差
期望 $E(S) = np = 120 \times 0.1 = 12$，方差 $D(S) = np(1-p) = 120 \times 0.1 \times 0.9 = 10.8$。
步骤 3：应用中心极限定理
由中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$S$ 近似服从正态分布 $N(12, 10.8)$。
步骤 4：计算系统发生堵塞的概率
求 $P(S > 20)$： \[ P(S > 20) = P\left(Z > \frac{20 - 12}{\sqrt{10.8}}\right) = P(Z > 2.43) \] 已知 $\Phi(2.43) = 0.9925$，则 \[ P(Z > 2.43) = 1 - 0.9925 = 0.0075 \]