设随机变量X~N(μ,σ2),其分布函数为F(x),则对任意函数a,有( )A. F(a+μ)+F(a-μ)=1.B. F(μ+a)+F(μ-a)=1.C. F(a)+F(-a)=1.D. F(a-μ)+F(μ-a)=1.

本题考查正态分布的对称性及其分布函数的性质。解题关键在于理解正态分布关于均值μ的对称性，并能通过标准化将一般正态分布转化为标准正态分布进行分析。需注意选项中变量替换的对称关系，排除干扰项。

正态分布的对称性

正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$关于均值$\mu$对称。设标准化变量$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$，则$X$的分布函数可表示为：
$F(x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right),$
其中$\Phi(\cdot)$为标准正态分布的分布函数。

选项分析

选项B：$F(\mu + a) + F(\mu - a) = 1$

将$\mu + a$和$\mu - a$代入分布函数：
$\begin{aligned}F(\mu + a) &= \Phi\left(\frac{\mu + a - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{a}{\sigma}\right), \\F(\mu - a) &= \Phi\left(\frac{\mu - a - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(-\frac{a}{\sigma}\right).\end{aligned}$
根据标准正态分布的对称性$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$，得：
$F(\mu + a) + F(\mu - a) = \Phi\left(\frac{a}{\sigma}\right) + \left[1 - \Phi\left(\frac{a}{\sigma}\right)\right] = 1.$
选项B成立。

其他选项分析

• 选项A：$F(a + \mu) + F(a - \mu)$与选项B形式相同（加法交换律），但需注意$a$为任意实数时，$a - \mu$可能偏离对称中心，无法保证和为1。
• 选项C：$F(a) + F(-a) = 1$仅在$\mu = 0$时成立，对一般正态分布不成立。
• 选项D：$F(a - \mu) + F(\mu - a)$等价于$F(b) + F(-b)$（令$b = a - \mu$），仅当$\mu = 0$时成立。