设总体 X sim N(0,1)，(X_1,X_2,... X_6) 为来自总体 X 的简单随机样本，则 k= （ ）时，(k cdot sum_(i=1)^4 X_i)/(sqrt(X_5^2 + X_6^2)) sim t(2)。A. (sqrt(2))/(2)B. 2C. sqrt(2)D. (1)/(2)

本题考查 $t$ 分布的定义以及正态分布和 $\chi^2$ 分布的性质。解题的关键在于将给定的统计量转化为符合 $t$ 分布定义的形式。

步骤一：分析分子部分

已知总体 $X \sim N(0,1)$，且 $(X_1,X_2,\cdots,X_6)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，那么 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 相互独立且都服从 $N(0,1)$ 分布。
根据正态分布的性质：若 $X_i \sim N(0,1)$，$i = 1,2,3,4$ 且相互独立，则 $\sum_{i = 1}^{4}X_i$ 服从正态分布，且 $E(\sum_{i = 1}^{4}X_i)=\sum_{i = 1}^{4}E(X_i)=0$，$D(\sum_{i = 1}^{4}X_i)=\sum_{i = 1}^{4}D(X_i)=4$。
所以 $\sum_{i = 1}^{4}X_i \sim N(0,4)$。
为了将其转化为标准正态分布，对 $\sum_{i = 1}^{4}X_i$ 进行标准化处理，令 $Z=\frac{\sum_{i = 1}^{4}X_i}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{4}X_i$，则 $Z \sim N(0,1)$。

步骤二：分析分母部分

因为 $X_5 \sim N(0,1)$，$X_6 \sim N(0,1)$ 且相互独立，根据 $\chi^2$ 分布的定义：若 $X \sim N(0,1)$，则 $X^2 \sim \chi^2(1)$，且相互独立的 $\chi^2$ 分布具有可加性。
所以 $X_5^2 + X_6^2 \sim \chi^2(2)$。

步骤三：根据 $t$ 分布的定义确定 $k$ 的值

$t$ 分布的定义为：若 $Z \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(n)$，且 $Z$ 与 $Y$ 相互独立，则 $T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} \sim t(n)$。
在本题中，$Z=\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{4}X_i$，$Y = X_5^2 + X_6^2$，$n = 2$，要使 $\frac{k \cdot \sum_{i=1}^{4} X_i}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2}} \sim t(2)$，则有：
$\begin{align*}\frac{k \cdot \sum_{i=1}^{4} X_i}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2}}&=\frac{\frac{k}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{4}X_i}{\sqrt{\frac{X_5^2 + X_6^2}{2}}}\\\end{align*}$
对比 $t$ 分布的定义，可得 $\frac{k}{\frac{1}{2}} = 1$，即 $k=\frac{1}{2}\times1=\frac{\sqrt{2}}{2}$。