11.二维连续型随机变量(X,Y)的概率分布为f(x,y)，则关于协方差以下错误的是()A.(X,Y)=E[ X-E(X)] cdot [ Y-Y(Y)] A.(X,Y)=E[ X-E(X)] cdot [ Y-Y(Y)] C.A.(X,Y)=E[ X-E(X)] cdot [ Y-Y(Y)] D.A.(X,Y)=E[ X-E(X)] cdot [ Y-Y(Y)]

协方差是描述两个随机变量线性相关程度的量，其核心定义为：
$\text{cov}(X,Y) = E\left\{[X - E(X)][Y - E(Y)]\right\}$
本题需判断选项中哪一表述不符合该定义。关键点在于：

1. 协方差的展开形式：$\text{cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$；
2. 积分形式：对连续型随机变量，协方差需通过二重积分计算；
3. 错误选项特征：若表达式未体现“乘积的期望”或“期望的乘积”混淆，则可能错误。

选项分析

选项A

$\text{cov}(X,Y) = E\left[ X - E(X) \right] \cdot \left[ Y - E(Y) \right]$
错误。协方差应为两个差乘积的期望，而非期望的乘积。正确形式应为：
$\text{cov}(X,Y) = E\left\{ [X - E(X)][Y - E(Y)] \right\}$

选项B

$\text{cov}(X,Y) = E\left\{ [X - E(X)][Y - E(Y)] \right\}$
正确。此为协方差的标准定义。

选项C

$\text{cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$
正确。通过展开定义式可得：
$\begin{aligned}\text{cov}(X,Y) &= E\left\{ [X - E(X)][Y - E(Y)] \right\} \\&= E(XY) - E(X)E(Y) - E(Y)E(X) + E(X)E(Y) \\&= E(XY) - E(X)E(Y).\end{aligned}$

选项D

$\text{cov}(X,Y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} [x - E(X)][y - E(Y)] f(x,y) \, dx \, dy$
正确。对连续型随机变量，协方差需通过概率密度函数的二重积分计算。