49.(武汉大学)证明:-|||-x y -|||-z x y =(x+y+z)(x+wy+(w)^2z)(x+(w)^2y+wz)-|||-y x-|||-其中w是1的立方根 dfrac (-1+sqrt {-3)}(2)

步骤 1：引入行列式
我们首先考虑行列式 $\left |\begin{matrix} x& y& z\\ z& x& y\\ y& z& x\end{matrix} | \right.$，并引入一个辅助行列式 $\left |\begin{matrix} 1& 1& 1\\ 1& {w}^{2}\\ 1& {w}^{2}& w\end{matrix} | \right.$，其中 $w$ 是1的立方根，即 $w = \dfrac {-1+\sqrt {-3}}{2}$。

步骤 2：构造新的行列式
构造新的行列式 $\left |\begin{matrix} x& y& z& 1& 1& 1\\ z& x& y\\ y& z& x\end{matrix} ||\begin{matrix} 1& {u}^{2}\\ y& {v}^{2}& w\end{matrix} | \right.$，并进行行列式的展开。

步骤 3：行列式展开
通过行列式的展开，我们得到 $\left |\begin{matrix} x+y+z\quad x+{w}^{2}z\quad x+{w}^{2}y+{w}^{2}\\ x+y+z\quad z+{w}^{2}y\quad z+{w}^{2}x+wy\\ x+y+z\quad y+{w}^{2}x\quad y+{w}^{2}z+wx\end{matrix} \right.$ 1 1 1 $=(x+y+z)(x+\omega y+{\omega }^{2}z)(x+{\omega }^{2}y+\omega z)$ 1 w w^2 1 w^2 w。

步骤 4：验证辅助行列式
由于 $\left |\begin{matrix} 1& 1& 1\\ 1& {w}^{2}\\ 1& {w}^{2}& w\end{matrix} | \right.$ $\neq 0$，我们可以将式①两边消去该行列式，从而得到原行列式的值。