题目
35.设 sim N(0,1).-|||-(3)求 Y=|X| 的概率密度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $Y$ 的分布函数
$Y=|X|$，其中 $X\sim N(0,1)$，即 $X$ 服从标准正态分布。$Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 可以通过 $X$ 的分布函数 $F_X(x)$ 来确定。由于 $Y=|X|$，$Y$ 的取值范围为 $[0,+\infty)$，因此 $F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(|X|\leq y)$。
步骤 2：计算 $F_Y(y)$
$F_Y(y)=P(|X|\leq y)=P(-y\leq X\leq y)=F_X(y)-F_X(-y)$，其中 $F_X(x)$ 是标准正态分布的分布函数，即 $F_X(x)=\frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$，其中 $\operatorname{erf}(x)$ 是误差函数。
步骤 3：计算 $Y$ 的概率密度函数
$Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$ 是 $F_Y(y)$ 的导数，即 $f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)$。由于 $F_X(x)$ 的导数是标准正态分布的概率密度函数 $f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$，因此 $f_Y(y)=\frac{d}{dy}\left[F_X(y)-F_X(-y)\right]=f_X(y)+f_X(-y)$。由于 $f_X(x)$ 是偶函数，即 $f_X(-x)=f_X(x)$，因此 $f_Y(y)=2f_X(y)=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}$，当 $y>0$ 时，$f_Y(y)=0$，当 $y\leq 0$ 时。
$Y=|X|$，其中 $X\sim N(0,1)$，即 $X$ 服从标准正态分布。$Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 可以通过 $X$ 的分布函数 $F_X(x)$ 来确定。由于 $Y=|X|$，$Y$ 的取值范围为 $[0,+\infty)$，因此 $F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(|X|\leq y)$。
步骤 2：计算 $F_Y(y)$
$F_Y(y)=P(|X|\leq y)=P(-y\leq X\leq y)=F_X(y)-F_X(-y)$，其中 $F_X(x)$ 是标准正态分布的分布函数，即 $F_X(x)=\frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$，其中 $\operatorname{erf}(x)$ 是误差函数。
步骤 3：计算 $Y$ 的概率密度函数
$Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$ 是 $F_Y(y)$ 的导数，即 $f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)$。由于 $F_X(x)$ 的导数是标准正态分布的概率密度函数 $f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$，因此 $f_Y(y)=\frac{d}{dy}\left[F_X(y)-F_X(-y)\right]=f_X(y)+f_X(-y)$。由于 $f_X(x)$ 是偶函数，即 $f_X(-x)=f_X(x)$，因此 $f_Y(y)=2f_X(y)=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}$，当 $y>0$ 时，$f_Y(y)=0$，当 $y\leq 0$ 时。