题目
例8 一个估计某行业CEO薪水的回归模型如下:-|||-ln y=(beta )_(0)+(beta )_(1)ln (x)_(1)+(beta )_(2)ln (x)_(2)+(beta )_(3)(x)_(3)+(beta )_(4)(x)_(4)+(beta )_(5)(x)_(5)+1-|||-其中,Y为年薪,X1为公司的销售收入,X 2为公司的市值,X 3为利润占销售额的百分-|||-比,X4为其就任当前公司CEO的年数,X5为其在该公司的年数。一个有177个样本数-|||-据集的估计得到 ^2=0.353 若添加 ({X)_(4)}^2 和 _(5)^2 后, ^2=0.375 问:此模型中是否有函数设-|||-定的偏误?试以10 %与5%的显著性水平进行检验。
题目解答
答案
解析
步骤 1：设定原假设和备择假设
原假设 ${H}_{0}$：模型中没有函数设定偏误，即 ${\beta }_{6}={\beta }_{7}=0$。
备择假设 ${H}_{1}$：模型中存在函数设定偏误，即 ${\beta }_{6}$ 或 ${\beta }_{7}$ 不等于0。
步骤 2：计算F统计量
根据题目给出的数据，原模型的 ${R}^{2}=0.353$，添加 ${X}_{4}^{2}$ 和 ${X}_{5}^{2}$ 后的模型的 ${R}^{2}=0.375$。样本量为177，原模型有6个参数（包括截距项），添加 ${X}_{4}^{2}$ 和 ${X}_{5}^{2}$ 后的模型有8个参数。因此，F统计量为：
\[ F = \frac{(0.375 - 0.353) / 2}{(1 - 0.375) / (177 - 8)} = \frac{0.022 / 2}{0.625 / 169} = \frac{0.011}{0.00369} = 2.97 \]
步骤 3：确定临界值并进行检验
在10%的显著性水平下，自由度为(2,169)的F分布的临界值为2.30；在5%的显著性水平下，临界值为3.0。因此，当显著性水平为10%时，F统计量2.97大于临界值2.30，拒绝原假设，表明模型存在函数设定偏误。当显著性水平为5%时，F统计量2.97小于临界值3.0，不拒绝原假设，表明模型没有函数设定偏误。
原假设 ${H}_{0}$：模型中没有函数设定偏误，即 ${\beta }_{6}={\beta }_{7}=0$。
备择假设 ${H}_{1}$：模型中存在函数设定偏误，即 ${\beta }_{6}$ 或 ${\beta }_{7}$ 不等于0。
步骤 2：计算F统计量
根据题目给出的数据，原模型的 ${R}^{2}=0.353$，添加 ${X}_{4}^{2}$ 和 ${X}_{5}^{2}$ 后的模型的 ${R}^{2}=0.375$。样本量为177，原模型有6个参数（包括截距项），添加 ${X}_{4}^{2}$ 和 ${X}_{5}^{2}$ 后的模型有8个参数。因此，F统计量为：
\[ F = \frac{(0.375 - 0.353) / 2}{(1 - 0.375) / (177 - 8)} = \frac{0.022 / 2}{0.625 / 169} = \frac{0.011}{0.00369} = 2.97 \]
步骤 3：确定临界值并进行检验
在10%的显著性水平下，自由度为(2,169)的F分布的临界值为2.30；在5%的显著性水平下，临界值为3.0。因此，当显著性水平为10%时，F统计量2.97大于临界值2.30，拒绝原假设，表明模型存在函数设定偏误。当显著性水平为5%时，F统计量2.97小于临界值3.0，不拒绝原假设，表明模型没有函数设定偏误。