题目

随机抽取某市12名男孩,测得其体重均值为3.2(kg),标准差为0.5(kg),则总体均数的95%可信区间是:()A 3.2pm1.96times0.5/sqrt(12)B 3.2pm t_(0.05/2,11)times0.5/sqrt(12)C 3.2pm t_(0.05/2,12)times0.5/sqrt(12)D 3.2pm t_(0.05/2,11)times0.5/sqrt(11)

随机抽取某市12名男孩,测得其体重均值为$3.2\text{kg}$,标准差为$0.5\text{kg}$,则总体均数的95%可信区间是:() A $3.2\pm1.96\times0.5/\sqrt{12}$ B $3.2\pm t_{0.05/2,11}\times0.5/\sqrt{12}$ C $3.2\pm t_{0.05/2,12}\times0.5/\sqrt{12}$ D $3.2\pm t_{0.05/2,11}\times0.5/\sqrt{11}$

题目解答

答案

我们来一步一步分析这道题：

题目要求：计算总体均数的 95% 可信区间（即置信区间）。

已知条件：

  • 样本量 $ n = 12 $ 名男孩
  • 样本均值 $ \bar{x} = 3.2 \text{ kg} $
  • 样本标准差 $ s = 0.5 \text{ kg} $
  • 总体标准差未知，使用的是样本标准差

第一步：判断使用哪种分布

由于：

  • 样本量较小（$ n = 12 < 30 $）
  • 总体标准差未知
  • 使用样本标准差 $ s $ 来估计

因此，不能使用标准正态分布（Z分布），而应使用 t 分布。

所以，置信区间的公式为：

$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, \, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

其中：

  • $ \bar{x} = 3.2 $
  • $ s = 0.5 $
  • $ n = 12 $，自由度 $ df = n - 1 = 11 $
  • 置信水平为 95%，所以显著性水平 $ \alpha = 1 - 0.95 = 0.05 $，双侧检验，每侧 $ \alpha/2 = 0.025 $
  • 所以临界值是 $ t_{0.025, 11} $，也可以写作 $ t_{0.05/2, 11} $

第二步：写出置信区间表达式

代入公式：

$3.2 \pm t_{0.05/2, 11} \times \frac{0.5}{\sqrt{12}}$

第三步：对比选项

A. $ 3.2 \pm 1.96 \times \frac{0.5}{\sqrt{12}} $

  • 错误。这是使用了 Z 值（1.96），适用于大样本或总体标准差已知的情况。这里是小样本且用样本标准差，应使用 t 分布。

B. $ 3.2 \pm t_{0.05/2,11} \times \frac{0.5}{\sqrt{12}} $

  • 正确！自由度是 11（$ n-1=11 $），标准误是 $ \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.5}{\sqrt{12}} $，使用 t 分布，符合小样本均数的置信区间计算。

C. $ 3.2 \pm t_{0.05/2,12} \times \frac{0.5}{\sqrt{12}} $

  • 错误。自由度应为 11，不是 12。

D. $ 3.2 \pm t_{0.05/2,11} \times \frac{0.5}{\sqrt{11}} $

  • 错误。标准误应为 $ \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.5}{\sqrt{12}} $，分母是 $ \sqrt{12} $，不是 $ \sqrt{11} $。

正确答案是：

$\boxed{\text{B}} \quad 3.2 \pm t_{0.05/2,11} \times \frac{0.5}{\sqrt{12}}$

解析

本题考查知识点为为小样本总体均数可信区间的计算，解题思路是先根据样本量的大小和总体标准差是否已知判断使用的分布，再确定公式中各参数的值，最后得出总体均数的可信区间表达式并与选项进行对比。

  1. 判断使用的分布：
    • 已知样本量$n = 12\lt30$，属于小样本，且总体标准差未知，使用样本标准差$s = 0.5\text{kg}$来估计总体标准差。
    • 根据统计学知识，在这种情况下应使用$t$分布来计算总体均数的可信区间，其公式为$\(\bar{x} \pm t_{\alpha/2, \, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$)，其中$\bar{x}$为样本均值，$s$为样本标准差，$n$为样本量，$df$为自由度，$\alpha$为显著性水平。
  2. 确定公式中各参数的值：
    • 已知样本均值$\bar{x}=3.2\text{kg}$，样本标准差$s = 0.5\text{kg}$，样本量$n = 12$。
    • 自由度$df=n - 1=12 - 1 = 11$。
    • 因为要求$95\%$的可信区间，所以置信水平为$0.95$，则显著性水平$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，双侧检验时每侧$\alpha/2 = 0.025$，即临界值为$t_{0.025, 11}$，也可写作$t_{0.05/2, 11}$。
  3. 计算总体均数的$95\%$可信区间：
    • 将$\bar{x}=3.2$，$s = 0.5$，$n = 12$，$df = 11$，$\alpha/2 = 0.025$代入公式$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, \, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$，可得：$3.2 \pm t_{0.05/2, 11} \times \frac{0.5}{\sqrt{12}}$。
  4. 对比选项：
    • 选项A：$3.2 \pm 1.9645\times\frac{0.5}{\sqrt{12}}$，使用了$Z$值（$1.96$），适用于大样本或总体标准差已知的情况，本题是小样本且用样本标准差，应使用$t$分布，所以A选项错误。
    • 选项B：$3.2 \pm t_{0.05/2,11} \times \frac{0.5}{\sqrt{12}}}$，自由度是$11$，标准误是$\frac{s}/{\sqrt{n}} = \frac{0.5}{\sqrt{12}}$，使用$t$分布，符合小样本均数的置信区间计算，所以B选项正确。
    • 选项C：$3.2 \pm t_{0.05/2,12} \times \frac{0.5}{\sqrt{12}}$，自由度应为$11$，不是$12$是样本量，不是自由度，所以C选项错误。
    • 选项D：$3.2 \pm t_{0.05/2,11} \times \frac{0.5}{\sqrt{11}}$，标准误应为$\(\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.5}{\sqrt{12}}$)，分母是$\sqrt{12}$，不是$\sqrt{11}$，所以D选项错误。