题目

3.单选题设总体Xsim N(mu,sigma^2)，mu是已知常数，sigma^2>0为未知参数，(X_(1),X_(2),...,X_(n))为来自X的简单随机样本，则检验假设H_(0):sigma^2=sigma_(0)^2;H_(1):sigma^2>sigma_(0)^2的拒绝域为（）.A W=(overline{X)-mu)/(sigma_(0)^2)sqrt(n)>alpha}B W=(sum_{i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2)/(sigma_(0)^2)ge x_(alpha)^2(n-1)}C W=(sum_{i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2)/(sigma_(0)^2)ge x_(alpha)^2(n)}D W=(sum_{i=1)^n(X_(i)-mu)^2)/(sigma_(0)^2)ge x_(alpha)^2(n)}

3.单选题 设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$\mu$是已知常数，$\sigma^{2}>0$为未知参数，$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$为来自$X$的简单随机样本，则检验假设$H_{0}:\sigma^{2}=\sigma_{0}^{2};H_{1}:\sigma^{2}>\sigma_{0}^{2}$的拒绝域为（）. A $W=\left\{\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma_{0}^{2}}\sqrt{n}>\alpha\right\}$ B $W=\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\ge x_{\alpha}^{2}(n-1)\right\}$ C $W=\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\ge x_{\alpha}^{2}(n)\right\}$ D $W=\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\ge x_{\alpha}^{2}(n)\right\}$

题目解答

答案

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 已知，$\sigma^2$ 未知。检验假设 $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$ vs $H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2$。

  1. 检验统计量：
    由于 $\mu$ 已知，使用统计量 $\frac{1}{\sigma_0^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$，在 $H_0$ 下服从自由度为 $n$ 的卡方分布，即 $\chi^2(n)$。

  2. 拒绝域：
    对于单边检验 $H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2$，拒绝 $H_0$ 当统计量大于 $\chi^2$ 分布的上 $\alpha$ 分位数，即 $\chi^2_\alpha(n)$。
    故拒绝域为 $W = \left\{ \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma_0^2} \ge \chi^2_\alpha(n) \right\}$。

答案： $\boxed{D}$

解析

本题考查正态总体方差的假设检验，解题的关键在于根据总体均值 $\mu$ 是否已知选择合适的检验统计量，并结合备择假设确定拒绝域。

  1. 确定检验统计量：
    • 已知总体 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，且 $\mu$ 是已知常数，$\sigma^{2}$ 为未知参数。
    • 当 $\mu$ 已知时，根据正态分布的性质，统计量 $\frac{X_i - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，$i = 1,2,\cdots,n$。
    • 由于 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立，且 $\chi^2$ 分布的定义为相互独立的标准正态分布随机变量的平方和，所以 $\sum_{i = 1}^{n}(\frac{X_i - \mu}{\sigma})^2=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n)$。
    • 在原假设 $H_0:\sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}$ 成立的条件下，检验统计量为 $\chi^2=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2}{\sigma_{0}^{2}}\sim\chi^2(n)$。
  2. 确定拒绝域：
    • 本题的备择假设为 $H_1:\sigma^{2}>\sigma_{0}^{2}$，这是一个单边检验。
    • 当 $\sigma^{2}$ 增大时，$\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2}{\sigma_{0}^{2}}$ 的值也会增大。
    • 对于给定的显著性水平 $\alpha$，我们要找到一个临界值 $\chi_{\alpha}^{2}(n)$，使得当检验统计量的值大于等于这个临界值时，我们就拒绝原假设 $H_0$。
    • 所以拒绝域为 $W = \left\{ \frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2}{\sigma_{0}^{2}} \ge \chi_{\alpha}^{2}(n) \right\}$。