题目
6.设总体X的分布函数-|||-(x,beta )= ^beta ),xgt 1 0,xleqslant 1 . ,-|||-,-|||-其中未知参数 beta gt 1 ,X1,X2,···,xn为取自总体X的简单随机样本,求:(1)β的-|||-矩估计量;(2)β的最大似然估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解总体X的期望E(X)
根据给定的分布函数 $F(x,\beta )=$ $\left \{ \begin{matrix} 1-\dfrac {1}{{x}^{\beta }},x\gt 1\\ 0,x\leqslant 1\end{matrix} \right.$ , 我们可以求出总体X的概率密度函数 $f(x,\beta )$ 为 $\left \{ \begin{matrix} \beta {x}^{-(\beta +1)},x\gt 1\\ 0,x\leqslant 1\end{matrix} \right.$ 。然后，利用概率密度函数求出总体X的期望E(X)。
步骤 2：求解β的矩估计量
根据矩估计法，令总体X的期望E(X)等于样本均值 $\overline {X}$ ，从而求出β的矩估计量。
步骤 3：求解β的最大似然估计量
根据最大似然估计法，写出似然函数 $L(\beta )$ ，然后对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(\beta )$ 。接着，对对数似然函数求导，令导数等于0，从而求出β的最大似然估计量。
根据给定的分布函数 $F(x,\beta )=$ $\left \{ \begin{matrix} 1-\dfrac {1}{{x}^{\beta }},x\gt 1\\ 0,x\leqslant 1\end{matrix} \right.$ , 我们可以求出总体X的概率密度函数 $f(x,\beta )$ 为 $\left \{ \begin{matrix} \beta {x}^{-(\beta +1)},x\gt 1\\ 0,x\leqslant 1\end{matrix} \right.$ 。然后，利用概率密度函数求出总体X的期望E(X)。
步骤 2：求解β的矩估计量
根据矩估计法，令总体X的期望E(X)等于样本均值 $\overline {X}$ ，从而求出β的矩估计量。
步骤 3：求解β的最大似然估计量
根据最大似然估计法，写出似然函数 $L(\beta )$ ，然后对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(\beta )$ 。接着，对对数似然函数求导，令导数等于0，从而求出β的最大似然估计量。