例4.2.2 设随机变量X,Y相互独立,且 sim N(1,3), sim N(2,4), 试求 =2X-|||--3Y 的数学期望和方差,并指出随机变量Z服从的分布.

步骤 1：确定随机变量Z的分布类型
由于随机变量X和Y相互独立，且X和Y都服从正态分布，因此Z=2X-3Y也是正态分布的线性组合，所以Z也服从正态分布。

步骤 2：计算Z的数学期望
根据数学期望的性质，对于随机变量X和Y，如果它们相互独立，那么对于任意常数a和b，有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。因此，Z=2X-3Y的数学期望为：
$$E(Z)=E(2X-3Y)=2E(X)-3E(Y)$$
由于$X\sim N(1,3)$，$Y\sim N(2,4)$，所以$E(X)=1$，$E(Y)=2$，代入上式得：
$$E(Z)=2\times1-3\times2=-4$$

步骤 3：计算Z的方差
根据方差的性质，对于随机变量X和Y，如果它们相互独立，那么对于任意常数a和b，有$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$。因此，Z=2X-3Y的方差为：
$$D(Z)=D(2X-3Y)=2^2D(X)+(-3)^2D(Y)$$
由于$X\sim N(1,3)$，$Y\sim N(2,4)$，所以$D(X)=3$，$D(Y)=4$，代入上式得：
$$D(Z)=4\times3+9\times4=12+36=48$$