7.设X1,X2,···,,,,xn为总体N(0,1)的样本,样本均值为UND,-|||-记 _(i)=(x)_(i)-overline (X),-|||-求: 1)D(Y1);2)cov(Y1,Yn ):-|||-3)若 (({r)_(1)+(r)_(n))}^2 是σ^2的无偏估计量,确定c-|||-4)求 ((Y)_(1)+(Y)_(n)lt 0)

考查要点：本题主要考查样本均值的性质、协方差计算、无偏估计量的确定以及正态分布的概率计算。

解题思路：

1. 方差计算：利用方差性质展开，结合样本均值与单个样本的协方差。
2. 协方差计算：通过协方差展开公式，结合独立性和相关性分析。
3. 无偏估计：通过期望公式，结合统计量的方差求解系数。
4. 概率计算：将和转化为标准正态分布，利用对称性求解。

关键点：

• 样本均值与单个样本的协方差为 $\frac{1}{n}$。
• $Y_i$ 的方差为 $\frac{n-1}{n}$，协方差为 $-\frac{1}{n}$。
• 无偏估计需满足期望等于被估参数。
• 正态分布的对称性简化概率计算。

1) 求 $D(Y_1)$

计算 $D(X_1 - \overline{X})$

• $D(X_1) = 1$，$D(\overline{X}) = \frac{1}{n}$。
• $Cov(X_1, \overline{X}) = \frac{1}{n}$。
• 展开方差：
  $D(Y_1) = D(X_1) + D(\overline{X}) - 2Cov(X_1, \overline{X}) = 1 + \frac{1}{n} - 2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}.$

2) 求 $Cov(Y_1, Y_n)$

展开协方差

• $Cov(X_1 - \overline{X}, X_n - \overline{X})$。
• 分解为：
  $Cov(X_1, X_n) - Cov(X_1, \overline{X}) - Cov(\overline{X}, X_n) + Cov(\overline{X}, \overline{X}).$
• 由于 $Cov(X_1, X_n) = 0$，$Cov(X_1, \overline{X}) = \frac{1}{n}$，$Cov(\overline{X}, X_n) = \frac{1}{n}$，$Cov(\overline{X}, \overline{X}) = \frac{1}{n}$。
• 代入得：
  $0 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = -\frac{1}{n}.$

3) 确定 $c$

无偏性条件

• $E[c(Y_1^2 + Y_n^2)] = c \cdot E[Y_1^2 + Y_n^2]$。
• $E[Y_i^2] = D(Y_i) = \frac{n-1}{n}$，$E[Y_1 Y_n] = Cov(Y_1, Y_n) = -\frac{1}{n}$。
• 展开期望：
  $E[Y_1^2 + Y_n^2] = 2 \cdot \frac{n-1}{n} + 2 \cdot \left(-\frac{1}{n}\right) = \frac{2(n-2)}{n}.$
• 无偏条件 $c \cdot \frac{2(n-2)}{n} = 1$，解得：
  $c = \frac{n}{2(n-2)}.$

4) 求 $P(Y_1 + Y_n < 0)$

分布分析

• $Y_1 + Y_n \sim N\left(0, \frac{2(n-2)}{n}\right)$。
• 标准化后：
  $\frac{Y_1 + Y_n}{\sqrt{\frac{2(n-2)}{n}}} \sim N(0,1).$
• 概率计算：
  $P(Y_1 + Y_n < 0) = P\left(Z < 0\right) = \frac{1}{2}.$